¿Es el límite L2 de un polinomio holomorfo?

Question

Esto es una continuación de mi pregunta aquí . Sea $D$ sea el disco unitario, y para cada $n$ dejar $f_n\in L^2(D)$ sea un polinomio en $z=x+iy$ con coeficientes complejos. Y supongamos que $f_n\rightarrow f$ con respecto a la $L^2(D)$ norma para algunos $f\in L^2(D)$ . Mi pregunta es si es necesariamente cierto que $f$ es holomorfo?

Si no es así, ¿alguien conoce un contraejemplo? Lo pregunto porque esto es cierto para la convergencia uniforme.

Answer 1

Si $c \in D$ y $B$ es un disco alrededor de $c$ cuyo cierre está contenido en $D$ entonces $f_n(c)-f_m(c)$ es la media de $f_n-f_m$ en $B$ . Junto con la desigualdad de Cauchy - Schwarz esto nos dice que $\{f_n\}$ en realidad converge uniformemente en $B$ . Si una secuencia de funciones holomorfas converge localmente de forma uniforme, el límite es holomorfo. Obsérvese que $f$ es sólo una clase de equivalencia de funciones, por lo que la afirmación correcta es $f=g$ casi en todas partes con $g$ holomorfo.