Una identidad de producto que implica la función gamma

Question

He reducido este problema (gracias @Mhenni) a lo siguiente (que hay que demostrar):

$$\prod_{k=1}^n\frac{\Gamma(3k)\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}{2^k\Gamma\left(\frac{3k}{2}\right)\Gamma(2k)}=\prod_{k=1}^n\frac{2^k(1+k)\Gamma(k)\Gamma\left(\frac{3(1+k)}{2}\right)}{(1+3k)\Gamma(2k)\Gamma\left(\frac{3+k}{2}\right)}.$$

Como ves es todo un lío. Esperemos que se pueda aplicar alguna gamificación y anular algunas cosas. He evaluado ambos productos para números grandes y conozca que la identidad es verdadera, sólo necesito aprender a manipular esos gammas.

Answer 1

Deja a un lado todas las funciones gamma. Entonces

• $\Gamma(2k)$ se anula.

• Uso de la función gamma fórmula de duplicación se puede sustituir $$\frac{1}{1+k}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)\Gamma\left(\frac{k+3}{2}\right)=\frac12\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)\Gamma\left(\frac{k}{2}+\frac12\right)=2^{-k}\sqrt{\pi}\,\Gamma(k).$$

• De la misma manera, $$\frac{1}{1+3k}\Gamma\left(\frac{3k}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3k+3}{2}\right)= \frac12\Gamma\left(\frac{3k}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3k}{2}+\frac12\right)= 2^{-3k}\sqrt{\pi}\,\Gamma(3k).$$

• La identidad se produce inmediatamente.