¿Cuál es la definición más rigurosa de una matriz?

Question

¿Es la matriz a una matriz rectangular de símbolos y expresiones, o se puede definir de una manera más formal?

Answer 1

Deje $I_n:=\{1,\cdots, n\}$.

Un $n \times m$-matriz con coeficientes en un anillo de $\mathcal{R}$ es una función de $a: I_n \times I_m \to \mathcal{R}$. Definimos $a_{i,j}:=a(i,j)$.

En otras palabras, una matriz rectangular.

Nota al margen: En mi punto de vista, creo que es particularmente útil para ver la definición anterior como un modelo para el concepto de una matriz, y retener el subconsciente la idea acertada de una matriz rectangular como el concepto central. Si usted realmente entender el concepto básico y tiene una relativa comodidad con las matemáticas, con la definición anterior es un asunto sencillo.

Answer 2

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con identidad, y $n,m$ ser enteros positivos. El conjunto de $n\times m$ matrices $R^{n\times m}$ se define como un $R$-módulo (espacio vectorial, si $R$ es un campo libre generado por los elementos de a $\{e_{i,j}\}$ donde$1\leq i \leq n$$1 \leq j \leq m$. El elemento $e_{i,j}$ representa la matriz con todas las entradas iguales a cero, excepto la entrada en $i$-ésima fila y $j$-ésima columna, que es igual a uno.

Por ejemplo, para $n=5, m=6$

$$e_{2,4}=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$

Cualquier matriz es una combinación lineal de $e_{i,j}$, con los coeficientes de ser sólo la matriz de entradas.

Esto es solo un $n \times m$-dimensional $R$-módulo, pero también hay una natural multiplicación mapa de $\times : R^{n\times m} \times R^{m \times p} \rightarrow R^{n \times p}$, definido por $$e_{i,j} \times e_{k,l} = \begin{cases} e_{i,l} & j = k \\ 0 & j \neq k \end{cases}$$ y ampliado por la linealidad. De hecho, es la norma de la matriz producto.

En el caso de $n=m$, esta multiplicación hace $R^{n\times n}$ a una $R$-álgebra, isomorfo a el álgebra de todos los endomorphisms en $R^n$.

Answer 3

La manera estándar para definir una tabla de valores en algunos de $S$ como un objeto matemático es codificar las posiciones como un conjunto de índices $S$, y para representar a la tabla del mapa de $I\to S$ que asocia a cada posición en el valor en la tabla. Entonces las matrices con $n$ filas y $m$ columnas y valores en $R$ podría ser representado (tomando la convención habitual de poner el índice de fila antes de que el índice de columna) como los mapas de $([n]\times[m])\to R$ donde $[n]$ es una abreviatura para el $n$-element set $\{1,\ldots,n\}$, e "$\times$" denota el producto Cartesiano.

Sin embargo, esta definición tiene el inconveniente de que los valores de $n,m$ no siempre puede ser recuperado a partir de una matriz, aunque el dominio puede ser recuperado a partir de un mapa. El problema es que $[n]\times[m]=\emptyset$ siempre $n=0$ o $m=0$, por lo que para una matriz que es el único mapa $\emptyset\to R$, no se puede reconstruir los valores de $n,m$. Bourbaki incluso explícitamente a los estados que no hay una única matriz vacía, con vistas al hecho de que esto causa problemas con las definiciones que siga inmediatamente en su propia presentación. En el uso cotidiano de las matrices, es muy común suponer que un $n\times m$ matriz de uno sabe de lo $n$$m$, pero con la definición de una matriz, como un mapa, esto simplemente no es cierto en el caso de una matriz vacía. Y el vacío de las matrices para la codificación lineal de mapas entre finito dimensionales espacios vectoriales, en caso de que un espacio vectorial de dimensión$~0$ es el dominio o codominio de la lineal mapa.

Una razón de esto es un verdadero problema es que la multiplicación de matrices se define de tal manera que el producto de una $n\times k$ matriz con un $k\times m$ de la matriz debe ser una $n\times m$ matriz, cada una de cuyas entradas se obtiene como suma de $k$ términos. Si $k=0$, a continuación, los dos operandos de la multiplicación se vacía matrices, por lo que cada entrada del producto a una suma de $0$ términos deben ser $0$, dando la matriz cero de tamaño $n\times m$. Sin embargo, esto requiere el conocimiento de los valores de $n$$m$, y con la definición de la matriz como mapa, esto no es posible. Uno simplemente no puede definir el producto de la única vacío de la matriz con el mismo ser de un tamaño diferente de cero de la matriz de acuerdo a las circunstancias.

Así que la conclusión es que para una definición rigurosa de una matriz, se debe registrar las dimensiones de los componentes de la matriz. Por lo que una adecuada y rigurosa definición de una matriz es el siguiente.

Una matriz con entradas en $R$ es un triple $(n,m,f)$ donde $n,m\in\Bbb N$ $f$ es un mapa de $([n]\times[m])\to R$.

Answer 4

Que $m$ y $n$ enteros positivos y que $F$ un campo. Un $m $ $n $ matriz con las entradas de $F $ es una función de $S $ $F $, donde $S $ es el conjunto de todos los pares ordenados de números enteros $(i,j) $, que $1\leq i \leq m $ y $1\leq j \leq n $.

Answer 5

Las otras respuestas definir una matriz en una forma que es sólo un arreglo rectangular de números. Esto no sólo pasa por alto la belleza de las estructuras, pero hace demostrando muchos de los datos básicos (por ejemplo. que el determinante es multiplicativo, entre innumerables otros) muy engorroso.

Por supuesto, las matrices pueden tener diferentes estructuras matemáticas dependiendo de cómo interpretarlos. (por ejemplo. transformaciones lineales, formas bilineales, etc.) Ya que es el más común, aquí es cómo usted puede definir una matriz como una transformación lineal:

Deje $V$ $W$ ser finito dimensionales espacios vectoriales sobre un campo $F$ con sus respectivas bases de $B$$C$. Deje $T:V\to W$ ser lineal en el mapa. A continuación, la "matriz" de $T$ puede ser definido como el mapa de $B\times C\to F$, que se asigna a $(\beta,\gamma)$ para el coeficiente de $T(\beta)$ el (único) de la expansión de $\gamma$ en términos de imagen de $B$ bajo $T$, que es una base para $W$.

En realidad ahora es obvio cómo se había de extender esta definición a "infinito matrices."