Relación de recurrencia/con límite

Question

Dejemos que $F_{n+1}=F_{n-1}+F_{n-2}$ para $n \in \mathbb{N}$ con $n \geq 2$

$F_0:=0$ y $F_1:=1$ .

Cómo calcular

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n+1}}$ ?

He intentado utilizar la fórmula de Binet:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\xi^{n-1}-\phi^{n-1})}{\frac{1}{\sqrt{5}}(\xi^{n+1}-\phi^{n+1})}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\xi^{n-1}(1-\frac{\phi^{n-1}}{\xi^{n-1}})}{\xi^{n+1}(1-\frac{\phi^{n+1}}{\xi^{n+1}})}$

Pero no sé qué hacer después.

Supongo que $\xi^{n+1}(1-\frac{\phi^{n+1}}{\xi^{n+1}})=\xi$ pero ¿qué pasa con ${\xi^{n-1}(1-\frac{\phi^{n-1}}{\xi^{n-1}})}$ ?

Answer 1

$$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$$

$$\implies\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\dfrac{F_{n-1}}{F_n}+1$$

Si $\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=a,$ tenemos $$a=\dfrac1a+1\iff a^2-a-1=0, a=?$$

Finalmente $\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}\cdot\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_n}{F_{n-1}}=a^2$

Answer 2

Después de $$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\xi^{n-1}-\phi^{n-1}\right)}{\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\xi^{n+1}-\phi^{n+1}\right)},$$ debería haber obtenido $$\lim_{n\to\infty}\frac{\xi^{n-1}\left(1-\frac{\phi^{n-1}}{\xi^{n-1}}\right)}{\xi^{n+1}\left(1-\frac{\phi^{n+1}}{\xi^{n+1}}\right)},$$ que es igual a $$\frac1{\xi^2}\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{\phi^{n-1}}{\xi^{n-1}}}{1-\frac{\phi^{n+1}}{\xi^{n+1}}}=\frac1{\xi^2}.$$

Answer 3

Tenemos $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\xi^{n-1}(1-\frac{\phi^{n-1}}{\xi^{n-1}})}{\xi^{n+1}(1-\frac{\phi^{n+1}}{\xi^{n+1}})}={1\over \xi ^2}\lim_{n\to \infty}{1-\left({\phi\over \xi}\right)^{n-1}\over 1-\left({\phi\over \xi}\right)^{n+1}}$$ donde $${\phi\over \xi}={{1-\sqrt 5\over 2}\over {1+\sqrt 5\over 2}}={1-\sqrt 5\over 1+\sqrt 5}$$ por lo tanto $-1<{\phi \over \xi}<0$ y obtenemos $$\lim_{n\to \infty}{1-\left({\phi\over \xi}\right)^{n-1}\over 1-\left({\phi\over \xi}\right)^{n+1}}={1\over \xi ^2}={3-\sqrt 5\over 2}$$

Answer 4

(Tenga en cuenta que la secuencia está mal planteada ya que no ha especificado $F_2$ . Sin embargo, podemos proceder sin importar el valor).

Supongamos que $F_n=\alpha^n$ . Entonces la relación de recurrencia nos dice que $\alpha^{n+1}=\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}$ para que $\alpha^3-\alpha-1=0$ . Como la recurrencia es lineal con tres grados de libertad, todas las soluciones serán de la forma $F_n=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3$ , donde $c_i$ son constantes que dependen de $F_0$ , $F_1$ y $F_2$ y $\alpha_i$ son las raíces de $\alpha^3-\alpha-1=0$ .

Por suerte, esta ecuación tiene una única raíz con magnitud mayor que 1, que es aproximadamente 1,32. Llamamos a esto $\alpha_*$ . Entonces $$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}=\alpha_*^{-2}\approx.57.$$