La probabilidad de que el estudiante $1$ tiene mejores resultados que Student $2$ en un examen

Question

Supongamos que hay un examen con 5 preguntas. Si la probabilidad de que el alumno $1$ responde correctamente a la pregunta $i$ es $P_{1.i}$ entonces

$P_{1.1} = 0.3$ , $P_{1.2} = 0.4$ , $P_{1.3} = 0.9$ , $P_{1.4} = 0.7$ , $P_{1.5} = 0.1$

Para los estudiantes $2$ ,

$P_{2.1} = 0.4$ , $P_{2.2} = 0.5$ , $P_{2.3} = 0.2$ , $P_{2.4} = 0.8$ , $P_{2.5} = 0.1$

¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante $1$ tiene mejores resultados que Student $2$ ?

¿Cómo resolver algo así? Quiero una expresión para hacer esto.

Answer 1

Calcular todas las probabilidades $P(C_i = j)$ donde $C_i$ es el número de preguntas correctas que ha marcado el alumno $i$ . Son sólo sumas de productos de la $P_{i,j}$ realmente. Entonces suma todo $P(C_1 = j)P(C_2 = k)$ sobre todos los pares $j > k$ que están permitidos. Esto se permite por la independencia de las puntuaciones de ambos estudiantes.

Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que el alumno 1 tenga 2 respuestas correctas, considere todas las combinaciones de dos respuestas de las cinco. Digamos que una de ellas es $\{i,j\}$ , lo que significa que el estudiante $1$ respuestas a las preguntas $i$ y $j$ correctamente y los otros incorrectamente. La probabilidad de que eso ocurra exactamente es $P_{1,i} \times P_{1,j}$ veces todos los factores $(1-P_{1,n})$ donde $n \neq i,j$ . Y esto tenemos que hacerlo para todos $\binom{5}{2}$ conjuntos de posibles $\{i,j\}$ para calcular $P(C_1 = 2)$ .

Esto es bastante tedioso de hacer a mano, así que escribí un programa :

Los resultados fueron:

P student 1 has 0 correct = 0.011340 P student 2 has 0 correct = 0.043200 P student 1 has 1 correct = 0.142200 P student 2 has 1 correct = 0.260400 P student 1 has 2 correct = 0.397800 P student 2 has 2 correct = 0.406400 P student 1 has 3 correct = 0.340000 P student 2 has 3 correct = 0.236400 P student 1 has 4 correct = 0.101100 P student 2 has 4 correct = 0.050400 P student 1 has 5 correct = 0.007560 P student 2 has 5 correct = 0.003200 1 does better with probability 0.471532 2 does better with probability 0.243788 equal score with probability 0.284680

Answer 2

Comentario: Te deseo éxito con el enfoque de @HennoBrandsma (+1). Parece que habrá que hacer un poco de contabilidad al considerar todas las posibilidades. En caso de que sea de alguna utilidad (por ejemplo, para comprobar los resultados intermedios), aquí están simulados distribuciones simuladas para las puntuaciones de Estudiante 1, Estudiante 2 y Diferencia.

Es razonable esperar que las probabilidades simuladas tengan una precisión de dos o tres lugares.

Aunque el Estudiante 1 lo hará ligeramente mejor de media, parece que hay algo menos de un 50:50 de posibilidades de que Estudiante 1 haga mejor que el Estudiante 2. Sin embargo, hay unas 3 posibilidades entre 4 de que el Estudiante 1 haga tan bien o mejor.

set.seed(429)
m = 10^6;  p1=c(3,4,9,7,1)/10;  p2=c(4,5,2,8,1)/10
s1 = replicate(10^6, sum(rbinom(5, 1, p1)))
round(table(s1)/m,3)
s1
    0     1     2     3     4     5 
0.011 0.142 0.398 0.340 0.101 0.008 
s2 = replicate(10^6, sum(rbinom(5, 1, p2)))
round(table(s2)/m,3)
s2
    0     1     2     3     4     5 
0.043 0.260 0.407 0.236 0.051 0.003 
d = s1 - s2
round(table(d)/m,3)
d
   -5    -4    -3    -2    -1     0     1     2     3     4     5 
0.000 0.001 0.011 0.060 0.172 0.285 0.272 0.148 0.044 0.006 0.000 

mean(s1 > s2)
[1] 0.471404
mean(s1 >= s2)
[1] 0.756087

par(mfrow=c(1,3))
 hist(s1, prob=T, br=(0:6)-.5, col="skyblue2", main="Student 1 Scores")
 hist(s2, prob=T, br=(0:6)-.5, col="skyblue2", main="Student 2 Scores")
 hist(d, prob=T, br=(-5:6)-.5, col="skyblue2", main="Difference in Scores")
  abline(v = .5, col="red", lwd=3, lty="dashed")
par(mfrow=c(1,1))