Estimación de la solución fundamental de la ecuación de Laplace de Evans

Question

Tras la definición del solución fundamental de la ecuación de Laplace (página 22)

$\Phi(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2\pi} \, \log(|x|), \, & n=2, \\ \frac{1}{n \, (n-2) \, \omega_n} \, \frac{1}{|x|^{n-2}}, \, & n\geq 3, \end{cases}$

Evans da dos estimaciones:

(i) $|D \Phi(x)| \leq \frac{C}{|x|^{n-1}}$

(ii) $|D^2 \Phi(x)|\leq \frac{C}{|x|^n}$

para alguna constante $C>0$

He podido probar (i) sin dificultades, pero estoy realmente atascado en (ii) , para el caso n \leq 3 .

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Sé que $D^2 \Phi(x)$ denota la matriz hessiana de $\Phi$ pero no entiendo cómo calcular su norma. Por lo que sé (he buscado en el apéndice), dada una matriz $A$ Evans escribe \begin{align} |A|=(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^n a_{ij}^2)^{1/2} \quad \star \end{align}

Así que escribo en el siguiente el $(i,j)$ -éste es el elemento de $D\Phi(x)$

\begin{align} \frac{\partial}{\partial x_j} [\frac{\partial \Phi(x)}{\partial x_i}]=\frac{\partial}{\partial x_j}[v'(|x|) \frac{x_i}{|x|}]=v''(|x|) \frac{x_i x_j}{|x|^2} - v'(|x|) \frac{x_i x_j}{|x|^3} \end{align}

Ahora introduzco la definición de $v(|x|)=C |x|^{1-N}$ , $C$ constante, por lo que tengo que

\begin{align} (D \Phi(x))_{ij}=C(1-N) \frac{x_i x_j}{|x|^{2+N}}-C \frac{x_i x_j}{|x|^{2+N}} = -N \frac{x_i x_j}{|x|^{2+N}} \end{align}

Ahora debería aplicar $\star$ pero no sé cómo pasar de aquí

EDITAR

Tengo eso $(D \Phi(x))_{ij}=-N \frac{x_i x_j}{|x|^{2+N}}\leq -N \frac{|x|^2}{|x|^{2+N}}=-N \frac{1}{|x|^N}$

y como este límite no depende de $(i,j)$ Ya no aplico directamente $\star$ y obtener

\begin{align} \frac{N}{|x|^N} \sqrt{\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{N}}1 =\frac{N^2}{|x|^N} \end{align}

y por lo tanto tengo el límite deseado

EDITAR $^2$ [17/5/2019]

Después de los comentarios con @SeverinSchraven, diferenciando termino con

\begin{align} \frac{\partial}{\partial x_i}[v'(|x|) \frac{x_i}{|x|}]= \ldots=\frac{C}{|x|^N}-N \frac{x_i^2}{|x|^{N+2}} \end{align}

y así tengo, en la matriz hessiana:

\begin{equation} a_{ij}= \begin{cases} \frac{N}{|x|^N} \quad i \ne j \\ \frac{(C-N)}{|x|^N} \quad i =j \end{cases} \end{equation}

Por lo tanto, utilizando $\star$ Lo he hecho:

$\sqrt{\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} a_{ij}^2}= \sqrt{\sum_{i} \sum_{i} a_{ii}^2 + \frac{N^2}{|x|^N}}=\sqrt{\frac{1}{|x|^{2N}}(N^2+(N^2(C-N)^2)}=\frac{N}{|x|^N} \cdot \tilde{C}$ , donde $\tilde{C}=\sqrt{1+(C-N)^2}$

Answer 1

Después de los comentarios, escribiré una respuesta.

Evans define $|A|$ , donde $A$ es una matriz, ya que

\begin{align} |A|=(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^n a_{ij}^2)^{1/2} \quad \star \end{align}

por lo que, para calcular la norma de $D^2 \Phi$ (matriz hessiana), necesito calcular cada componente $a_{ij}=\frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{\partial \Phi(x)}{\partial x_j})$

Como se ha señalado en los comentarios, tengo que distinguir el caso $i=j$ y $i \ne j$ . [Recordemos que en Evans $v'(|x|)=v'(r)=C r^{1-N}$ ]

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Así, para $i \ne j$ :

$ \frac{\partial}{\partial x_i} [\frac{\partial \Phi(x)}{\partial x_j}]=\frac{\partial}{\partial x_i}[v'(|x|) \frac{x_j}{|x|}]=v''(|x|) \frac{x_i x_j}{|x|^2} - v'(|x|) \frac{x_i x_j}{|x|^3} $

Al introducir la definición de $v(|x|)$ :

\begin{align} a_{ij}= -N \frac{x_i x_j}{|x|^{2+N}}, \quad i \ne j \end{align}

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En el caso $i=j$ Lo he hecho:

$\frac{\partial}{\partial x_i}[v'(|x|) \frac{x_i}{|x|}]=v''(|x|) \frac{x_i^2}{|x|^2} + v'(|x|) [ \frac{1}{|x|^2} - \frac{x_i^2}{|x|^3}]=C(1-N) \frac{x_i^2}{|x|^{N+2}}+\frac{C}{|x|^N}-C \frac{x_i^2}{|x|^{N+2}}$

Así que,

\begin{align} a_{ij}= \frac{C}{|x|^N}-NC \frac{x_i^2}{|x|^{N+2}}, \quad i =j \end{align}

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Para calcular $\star$ , yo uso eso $x_i^2 \leq |x|^2$ y así puedo atado $a_{ii}$ de la siguiente manera

$a_{ii} \leq \frac{C}{|x|^N}+NC \frac{|x|^2}{|x|^{N+2}}=C(1+N) \frac{1}{|x|^N}$

Así que, \begin{align} \sum_i \sum _i a_{ii}^2 \leq N^2 C^2(1+N)^2 \frac{1}{|x|^{2N}} \end{align}

Ahora, delimitando de nuevo $a_{ij}$ ( $i \ne j$ ) utilizando el hecho de que $x_i x_j \leq |x|^2$ Tengo

\begin{align} \sum_i \sum_j a_{ij}^2 \leq \sum_i \sum_j (\frac{N}{|x|^{N}})^2=N(N-1)N^2 \frac{1}{|x|^{2N}} \end{align}

Ahora junto las dos sumas y obtengo

\begin{align} \frac{N^2}{|x|^{2N}} [N(N-1)+C^2(1+N)^2] \end{align}

por lo tanto, tomando la raíz cuadrada:

$|D^2 \Phi(x)| \leq \frac{N}{|x|^N} \sqrt{N(N-1)+C^2(1+N)^2}=\tilde{C} \frac{N}{|x|^N}$

donde $\tilde{C}=\sqrt{N(N-1)+C^2(N+1)}$

y se demuestra el límite.