Hay muchas topologías en el álgebra $B(H)$ de operadores acotados en el espacio de Hilbert:
el débil , fuerte , ultra débil (también llamado σ- débil ), ultrastrong (también llamado σ- fuerte ), y algunos más...
Afortunadamente, las topologías débil y fuerte coinciden cuando se restringen a $U(H)\subset B(H)$ .
Del mismo modo, las topologías ultradébiles y ultrafuertes coinciden en $U(H)$ .
¿Es cierto que las topologías débil y ultradébil coinciden cuando se restringen a $U(H)$ ?
Definiciones:
Una secuencia generalizada $a_i$ es débil ly, fuerte ly, ultra débil ly, ultrastrong l convergente si:
- $\langle a_i\xi,\eta\rangle\to\langle a\xi,\eta\rangle\qquad \forall \xi,\eta\in H$
- $a_i\xi\to a\xi\qquad \forall \xi\in H$
- $\langle (a_i\otimes 1)\xi,\eta\rangle\to\langle (a\otimes 1)\xi,\eta\rangle\qquad \forall \xi,\eta\in H\otimes \ell^2(\mathbb N)$
- $(a_i\otimes 1)\xi\to (a\otimes 1)\xi\qquad \forall \xi\in H\otimes \ell^2(\mathbb N)$ ,
respectivamente.
Aquí, $H\otimes \ell^2(\mathbb N)$ denota el producto tensorial del espacio de Hilbert de $H$ y $\ell^2(\mathbb N)$ .
