Diámetro de una bola en un espacio métrico normado

Question

Podría ayudarme con lo siguiente, por favor:

Demuestra que el diámetro de una bola en un espacio normado es el doble de su radio.

Mi intento:

$diam(A)=\sup \{d(x,y): x,y\in A\}$

La primera desigualdad es evidente $diam(B_\epsilon(a))\leq 2\epsilon$ pero para el segundo tengo lo siguiente:

Supongamos que $diam(B_\epsilon(a))< 2\epsilon$ tenemos que existe k tal que $diam(B_\epsilon (a))<k<2\epsilon$ elegimos $z$ no nulo y definimos $x=a+\dfrac{kz}{2||z||},\ y=a-\dfrac{kz}{2||z||}$ además tenemos que $||x-a||=\dfrac{k}{2}<\epsilon,\ ||y-a||= \dfrac{k}{2}<\epsilon$ y $||x-y||=||k||$

Aquí se menciona que contradice la definición de diámetro y me gustaría que me ayudaran a entender dónde está la contradicción, o si se les ocurre alguna otra demostración, gracias.

Answer 1

$diam (B_{\epsilon} (a))) \geq \|x-y\|=k $ siempre que $k <2\epsilon$ . Aplique esta desigualdad a $k=2\epsilon-\frac 1 n$ y luego dejar que $n \to \infty$ para ver que $diam (B_{\epsilon} (a))) \geq 2\epsilon$ .

Answer 2

Para cualquier $x,y \in B_\epsilon (a)$ , $||x - y|| \leq \rm{diam}\, B_\epsilon (a)$ . Así que, $k = ||x - y|| \leq \rm{diam}\, B_\epsilon(a) < k$ una contradicción.