¿$\sqrt{n!}$ Es un número natural?

Question

Soy nuevo aquí (en Matemáticas de Intercambio de la Pila). También, soy un estudiante de 10mo grado no es un experto en matemáticas.

Entonces, mi pregunta es si,

$$\sqrt {n!} $$

viene en el conjunto de los Números Naturales.

Hubo algunas respuestas cuando traté de buscar en Google. Pero, estaba fuera de mi conocimiento, que es, no la he leído/aprendido los métodos, funciones, etc. que estaban utilizando. Así que, si es posible dar una explicación detallada. Y que me perdonen si hay una buena respuesta y, si existe, por favor compartir un enlace.

Answer 1

Para cualquier $n \gt 1$ allí será un prime en el rango $(n/2,n]$ que sólo ocurrirá una vez en la factorización de $n!$ por el postulado de Bertrand. Esto asegurará que el $\sqrt{n!}$ no es un entero.

Answer 2

Mira el primer factores de $n!$. Si la raíz cuadrada de $n!$ fue un entero, $n!$ sería el cuadrado de un entero, y en el cuadrado de un entero, todos los factores primos de producirse un número par de veces.

Por ejemplo, si usted toma el $100!$, que termina con $\cdots 95\times 96\times 97\times 98\times 99\times 100$, ver el primer número de $97$. Que el primer número se produce sólo una vez en la factorización de $100!$. Todos los números primos de $51$ $100$ocurren sólo una vez en la factorización de $100!$. Por lo tanto, $100!$ no es un cuadrado.

Hay un teorema que siempre existe un número primo entre el$n$$2n$, y por lo tanto cualquier factorial de partida con $2$! tiene un primer factor que sólo viene una vez.