Encuentre $\lim\limits_{(x,y) \to(0,0)} \frac{e^{xy} -1}{ x^2 + y^2} $

Question

Necesito probar que el límite no sale

Encuentre $\lim\limits_{(x,y) \to(0,0)} \frac{e^{xy}-1}{ x^2 + y^2} $

He intentado encontrar el límite a medida que f(x) se aproxima desde los ejes x e y pero sigo obteniendo una respuesta indeterminada.

Answer 1

Cuando $y=0$ y $x\not=0$ , $$ f(x,y)=f(x,0)=\frac{e^{x\cdot 0}-1}{x^2+0^2}=\frac{e^0-1}{x^2}=\frac{1-1}{x^2}=\frac{0}{x^2}=0. $$ Por lo tanto, siempre que $x\not=0$ y $(x,y)$ está en el $x$ -eje, esta función es idéntica a cero. Por lo tanto, el límite como $x$ se acerca a cero es $0$ .

Ahora bien, si intentas la trayectoria en la que $x=y$ entonces $$ f(x,y)=f(x,x)=\frac{e^{x^2}-1}{2x^2}. $$ Como $x$ (y $y$ ) se acercan a cero, se obtiene una forma indeterminada, pero una simple aplicación de la regla de l'Hopital (o mirando la expansión de la serie de potencias) mostrará que este límite no es cero.