Qué transformaciones de mobius mapean $|z-1|=1$ y $|z+1|=1$ en las líneas $Re(w)=1$ y $Re(w)=-1$ respectivamente, y el punto único $z=2$ en $w=1$ ?

Question

Pregunta:

Qué transformaciones de mobius mapean $|z-1|=1$ y $|z+1|=1$ en las líneas $Re(w)=1$ y $Re(w)=-1$ respectivamente, y el punto único $z=2$ en $w=1$ ?

Intento:

Llevo un tiempo trabajando en esto y estoy atascado. Entiendo que la solución necesitará algún tipo de inversión ya que estamos mapeando círculos a líneas. Sé que una línea vertical $z=c_1$ es mapeado por $w=1/z$ al círculo $$ -c_1 (u^2 + v^2) + u = 0$$ donde $w=u + iv$ . Pero no puedo averiguar cómo utilizar esto para encontrar las transformaciones adecuadas para la pregunta.

Cualquier ayuda para entender sería muy apreciada...

Answer 1

Los dos círculos comparten un punto en 0. También son perpendiculares al eje real. Esto sugiere intentar $z \to \frac{1}{z}$ . La imagen de los círculos que se encuentran debajo debe pasar por el punto $\infty$ y debe ser perpendicular a la imagen del eje real. El eje real se conserva bajo inversión, por lo que las imágenes de los círculos deben ser $Re(z) = \frac{1}{2}$ y $Re(z) = \frac{-1}{2}$ . Para colocarlos en los lugares correctos necesitamos dilatar por un factor de 2. El mapa deseado es, por lo tanto $$z \to \frac{2}{z}$$