Sobre la búsqueda de matrices de transformaciones lineales

Question

Estoy tratando de entender el significado detrás de la matriz de una transformación lineal. Para ilustrar lo que no entiendo considere el siguiente ejemplo. Supongamos que $t: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 $ es una transformación lineal dada por $$(x,y) \mapsto (2x, 3x+y, y)$$

Supongamos también que la base del dominio es $E = \{(1,1), (1,0) \}$ y la base del codominio es $F= \{(1,1,1), (0,1,1),(0,0,1) \}$ . Entonces para encontrar la matriz de esta transformación lo único que tenemos que hacer es encontrar la transformación de los vectores base, así que en este caso:

$$t(1,1) = (2,4,1) $$ $$t(1,0) = (2,3,0)$$

Pero entonces tenemos que convertir estas transformaciones en la base del codominio y tenemos:

$$(2,4,1) = (2,2,-3)_F$$ $$(2,3,0) = (2,1,-3)_F$$

De aquí deducimos que la matriz de la transformación lineal viene dada por

$$\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}$$

Ahora entiendo cómo hacer cálculos como el de arriba. Sin embargo, no entiendo qué representa la transformación intermedia "vectores base" (es decir, cuál es el significado de $t(1,1) = (2,4,1)$ )? ¿Qué representan estos vectores en el codominio? ¿Y cómo la conversión de estos vectores a su representación en la base del codominio da las columnas correctas para la matriz que buscamos? ¿Por qué tenemos que convertir en primer lugar?

De forma más concisa $\vec{v} \in V$ la matriz $A$ de la transformación satisface $[T(\vec{v})]_F = A[\vec{v}]_E$ Pero, ¿qué es lo que hace $T(\vec{v})$ representan (sin conversión a base $F$ )?

Answer 1

Como caso general, cuando se tienen diferentes bases tanto en el dominio como en el codominio, tiene que haber algo entre los vectores brutos y la matriz de transformación para poder cambiar los vectores que se quieren transformar de su base original a la base en la que ha definido su transformación lineal. Tu transformación lineal sólo transformará correctamente los vectores que estén expresados en su misma base.

Para hacerlo de forma sencilla, lo que utilizamos es una matriz de cambio de base. Las columnas de las matrices de cambio de base son los vectores de la base original expresados en coordenadas de la base de la transformación. Estas matrices de cambio de base se denotan a veces como $M(B_2,B_1)$ , donde $B_1$ es la base original en la que se expresan los vectores (entrada), y $B_2$ es la base de la transformación lineal (salida). Esto significa que el "nuevo" cambio de matriz base $A(B_2,B_1)$ será:

$$A(B_2,B_1)=A(B_2,B_2)\cdot M(B_2,B_1)$$

Dónde $A(B_2,B_2)$ es su matriz de cambio de base original que toma vectores de la base $B_2$ y salidas de vectores transformados también en $B_2$ .

Nótese que aquí los vectores de salida estarán en la base $B_2$ . Si quieres que vuelvan a la base $B_1$ entonces se necesita otro cambio de matriz base para volver a tomar esos vectores en $B_1$ :

$$A(B_1,B_1)=M(B_1,B_2)\cdot A(B_2,B_2)\cdot M(B_2,B_1)$$

$M(B_1,B_2)$ puede calcularse fácilmente como la inversa de $M(B_2,B_1)$ ya que está haciendo la operación inversa.

Espero que esto ayude a entender el uso de las matrices de cambio de base para las transformaciones lineales.