¿Cuántas permutaciones de $\{1,2,3,4,5\}$ ¿empezar con un número par?

Question

Me encontré con el siguiente problema y estoy buscando ayuda,

¿Cuántas permutaciones de $\{1,2,3,4,5\}$ ¿empezar con un número par?

Mis trabajos,

Así que en el conjunto de números hay $2$ números pares, $2$ y $4$ y debemos llenar $5$ posiciones, siendo el número inicial par,

Tenemos $2$ opciones para la primera posición, $5$ opciones para la segunda posición, $5$ opciones para la tercera posición, $5$ opciones para la 4ª posición, y finalmente $5$ para la última posición, así que por la regla del producto

$$2\times5\times5\times5\times5 = 2 \times 5^4 = 2\times625 = 1250$$

Answer 1

Tendrías razón si la pregunta dijera que se pueden reutilizar los números. Sin embargo, en un permutación No se pueden repetir los números.

Con esto en mente, tenemos $\color{blue}2$ opciones para la primera posición, $\color{blue}4$ opciones para la segunda posición, $\color{blue}3$ opciones para la tercera posición, $\color{blue}2$ opciones para la 4ª posición, y sólo $\color{blue}1$ para la última posición, por lo que por la regla del producto tenemos $$2\times4\times3\times2\times1 = 48$$ permutaciones.

Más brevemente, tenemos $\color{blue}2$ opciones para la primera posición, y deseamos permutar el resto de la $\color{blue}4$ números disponibles para nosotros. Por lo tanto, tenemos

$$2 \times 4! = 48$$ permutaciones pares.

Answer 2

Para el primer puesto tienes dos opciones como has dicho. Pero no consideramos la repetición en las permutaciones. Por lo tanto, los otros dígitos pueden ser permutados en $4!$ formas.
Por lo tanto, la respuesta sería $2*4!=48$