Demostrar que $a \equiv b \pmod{m_1m_2}\implies a \equiv b \pmod {m_1}$

Question

Entonces, tengo este problema:

si $$a \equiv b \mod(m_1m_2)$$ entonces (mostrar) $$a \equiv b \mod(m_1)$$ .

Tengo que hacer una prueba, pero no tengo ni idea de por dónde empezar la prueba. ¿Puede alguien ayudarme?

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Prueba (Editar):

Sabemos que $a\equiv b \mod(m_1m_2)$ y $m_1$ y $m_2$ son enteros positivos y a y b son enteros. Queremos demostrar $ab \mod(m_1)$

Considere un número entero positivo $n$ y los enteros $x$ , $y$ . Por la definición de congruencia, $x \equiv y \mod(n)$ significa $n \mid x-y$ . Desde $n$ , $x$ y $y$ $\in \mathbb{Z}$ , entonces por la definición de divide $n \mid x-y$ se convierte en $\exists_c(nc=x-y)$ para algún número entero $c$ .

Aplicando esta definición:

Supongamos que $a \equiv b \mod(m_1m_2)$ esta expresión se convierte en $m_1m_2|a-b$ por la definición de congruencia. Entonces, como $m_1, m_2, a, b \in \mathbb{Z}$ entonces: $\exists_c(m_1m_2c = a-b)$ para algún número entero $c$ .

Ahora, dejemos que $c$ sea $m_2c$ . Así, $m_1(m_2c) = a-b$ y como $(m_2c)$ es un número entero, esto demuestra que $m_1 \mid a-b$ es decir, $a \equiv b \mod(m_1)$

Q.E.D.

Answer 1

Muy sencillo: $a \equiv b \pmod{m_1 m_2} \implies a=b+m_1m_2k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ .

Y vemos $a \equiv b \pmod{m_1} \implies a=b+m_1l$ para algunos $l \in \mathbb{Z}$ .

$l=m_2k$ Así que $a$ es de la forma $b+m_1l$ y nuestra condición de $a \equiv b \pmod{m_1}$ se satisface.

Answer 2

Pongámoslo así: $a\equiv b \mod(m_1m_2) \implies a = b+q \cdot m_1m_2 = b+q*m_2m_1= b+(qm_2)m_1=b+pm_1\implies a\equiv b \mod(m_1)$ . Por supuesto, esto es asumiendo que estás en el espacio real, que es el $m_1m_2=m_2m_1$ .

Answer 3

$b \mod(m_1m_2)\equiv a $

Esto significa que $\frac{b}{m_1m_2}=k+\frac{a}{m_1m_2}$ multiplicar $m_2$ a ambos lados de la ecuación obtenemos:

$\frac{b}{m_1}=km_2+\frac{a}{m_1}$ y significa que

$b \mod(m_1)\equiv a $

Answer 4

Se nos da $a-b \equiv 0 \pmod {m_1 m_2}$ . Esto significa que $(a-b) = km_1 m_2$ para una constante $k$

Queremos demostrar que $(a - b) = j m_1$ para alguna otra constante $j$ . Debería estar claro desde aquí.

Establecer $j = km_2$ . La conclusión deseada es inmediata.