Cómo encontrar este bonito minmum de este valor $\frac{\prod_{i=1}^{n-1}(a_{i}+a_{i+1})\sum a_{i}}{\prod_{i=1}^{n}a_{i}}$

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Para cualquier $a_{i}>0 (i=1,2,\cdots,n)$ , hallar el mínimo del valor $$F_{n}(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})=\dfrac{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})\cdots (a_{n-1}+a_{n})(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})}{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}.$$ (por wang yong xi)

Lo intento cuando $n=2$ entonces $$F_{2}(a_{1},a_{2})=\dfrac{(a_{1}+a_{2})(a_{1}+a_{2})}{a_{1}a_{2}}=\dfrac{(a_{1}+a_{2})^2}{a_{1}a_{2}}\ge 4$$ cuando $a_{1}=a_{2}$ es mínimo

(2):cuando $n=3$ , $$F_{3}=\dfrac{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}+a_{3})}{a_{1}a_{2}a_{3}}$$ WLOG $a_{3}=1$ Así que $$F=\dfrac{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+1)(a_{1}+a_{2}+1)}{a_{1}a_{2}}$$ Yo uso este hallazgo este mínimo es $$(F_{3})_{min}=\dfrac{1}{2}(11+5\sqrt{5})$$ cuando $a_{1}=1,a_{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ véase enlaces

Answer 1

Aquí hay algunos avances parciales. Tal vez alguien tenga más ideas.

Por homogeneidad, podemos establecer $a_1 + \cdots + a_n = 1$ en todo. Primero prescindir del comportamiento de los límites. Fijar $1 \leq k \leq n$ y nota que $$\frac{\prod_{i=1}^k (a_i+a_{i+1})}{\prod_{i=1}^n a_i} = \prod_{i=1}^{k-1} \frac{a_i + a_{i-1}}{a_i} \cdot \prod_{i=k}^{n-1} \frac{a_i + a_{i+1}}{a_{i+1}} \cdot \frac{1}{a_k} \geq \frac{1}{a_k}.$$

Por lo tanto, $F_n(a_1, \ldots, a_n) \geq \frac{1}{\min_i a_i}$ Así que $F_n \to \infty$ uniformemente a medida que nos acercamos al límite.

Dejemos que $G_n(a_1, \ldots, a_n) = \log F_n(a_1, \ldots, a_n)$ que bien podemos minimizar. Recordando que $a_1+\cdots+a_n=1$ en todo momento, considere cuando $\nabla G_n = 0$ . Encontramos $$\begin{align*}a_1 \partial_1 G_n &= \frac{a_1}{a_1+a_2} + a_1 - 1 \\ a_i \partial_i G_n &= \frac{a_i}{a_{i-1} + a_i} + \frac{a_i}{a_i + a_{i+1}} + a_i - 1 \qquad \text{for }1 < i < n \tag{*}\label{*}\\ a_n \partial_n G_n &= \frac{a_n}{a_{n-1}+a_n} + a_n - 1. \end{align*}$$ En particular, tenemos la relación $$\sum_{i=1}^n a_i \partial_i G_n = 0$$ que parece importante, aunque no le he encontrado un uso.

Utilizando $\eqref{*}$ podemos reescribir la condición $\nabla G_n = 0$ como $$\begin{align*} \frac{a_2}{a_1+a_2} &= a_1 \\ \frac{a_3}{a_2+a_3} &= a_1 + a_2 \\ &\vdots \\ \frac{a_n}{a_{n-1}+a_n} &= a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} \\ 1 &= a_1+\cdots+a_n \end{align*}$$ o $$\begin{align*} \frac{a_2}{a_1+a_2} &= a_1 \\ \frac{a_3}{a_2+a_3} &= \frac{a_2}{a_1+a_2} + a_2 \\ &\vdots \\ \frac{a_n}{a_{n-1}+a_n} &= \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+a_{n-1}} + a_{n-1} \\ a_1+\cdots+a_n &= 1. \end{align*}$$

Cualquiera de estas formas es adecuada para los sistemas de álgebra computacional. He introducido los 12 primeros en Mathematica; aquí está la salida . Utilizando la primera $n-1$ podemos resolver iterativamente para $a_2, a_3, \ldots, a_n$ como funciones racionales de $a_1$ y entonces podemos imponer la condición final para resolver $a_1$ . Esto demuestra que $a_1$ (y por lo tanto todos los demás) son algebraicos, por lo que el mínimo algebraico que sugiere math110 en un comentario más arriba es al menos plausible a primera vista. Edición: efectivamente, he comprobado a través de $n=12$ que los valores de $F_n$ cuando $\nabla G_n = 0$ son precisamente los conjugados de Galois de la conjetura de math110 de $\left(\sin\left(\frac{2\pi}{n+2}\right)/\sin\left(\frac{\pi}{n+2}\right)\right)^{n+2}$ .

Según estos datos, parece que cuando $n$ es impar, $a_1$ satisface $p_n(t) := \sum_{k=0}^{(n+1)/2} \binom{n+1-k}{k} (-t)^k = 0$ . Curiosamente, esta familia de polinomios parece tender puntualmente a 0 en $[0, 1]$ como $n \to \infty$ y parecen estar realmente arraigados. Además, parece que el valor único de $a_1$ resolviendo el sistema anterior sujeto a $a_i > 0$ y $a_1 + \cdots + a_n = 1$ es la raíz más pequeña de $p_n(t)$ .

Tengo la sensación de que me falta algún tipo de significado físico en este problema. Tampoco veo por qué $\eqref{*}$ implica la simetría $a_i = a_{n-i+1}$ Aunque debería. Hay una cantidad extraña de estructura a lo largo de este problema que no puedo explicar.