utilizando sup de una función no limitada

Question

¿Es válido lo que estoy haciendo si no tenemos ninguna información sobre la acotación de $f$ o $f_n$ ?

dejar $X$ sea un espacio de medidas finitas y $\{f_n\}$ sea una secuencia de funciones integrables no negativas, $f_n \rightarrow f$ a.e. en $ X$ . Es cierto que $$\left|\lim_{n \rightarrow \infty}\int_X |f_n-f|d\mu\right| \leq \sup |f_n-f|\ \mu(X).$$

Establecer $X$ está bajo mi control, por lo que quiero decir que puedo hacerlo tan pequeño como un conjunto de medidas cero, $\epsilon=\frac{\epsilon_0}{\sup\ |f_n-f|}$ en este caso, y en eso no me tiene que importar si $f_n \nrightarrow f$ porque:

$$\left|\lim_{n \rightarrow \infty}\int_X |f_n-f|d\mu\right| \leq \sup |f_n-f| \times \frac{\epsilon_0}{\sup\ |f_n-f|}= \epsilon_0$$

Answer 1

Este es un ejemplo de lo que se ha explicado en los comentarios: $X=(0,1)$ , $\mathcal F=\mathcal B(X)$ , $\mu=\mathrm{Leb}$ , $f_n:x\mapsto1/(n\sqrt{x})$ . Quizá quieras ver qué pasa con las afirmaciones que intentas demostrar, en este caso. En primer lugar, ¿cuál es la función $f$ ? A continuación, ¿qué es $\|f_n-f\|_\infty$ ? Por lo tanto...