Mostrar que $f^{(n)}(0)=0$ $n=0,1,2, \dots$

Question

Que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función infinitamente muchas veces diferenciable y $f(\frac{1}{n})=0$ cada $n \in \mathbb{N}$. Mostrar que $f^{(n)}(0)=0$ $n=0,1,2, \dots$

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¿Me podriais dar algunas sugerencia ¿Qué puedo hacer?? Quedé pegado ahora mismo...

Answer 1

Un enfoque sencillo aplicando el teorema de Rolle de:

Que $n\in\mathbb{N}^*$. Puesto que es diferenciable en $f$ $\left(\dfrac1{n+1},\dfrac1n\right)$ y continuo en $\left[\dfrac1{n+1},\dfrac1n\right]$, $c_n\in\left(\dfrac1{n+1},\dfrac1n\right)$ tan existe que $f'(c_n)=0$.

Esto demuestra que existe una secuencia $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ que está disminuyendo y $\lim\limits_{n\to+\infty}c_n=0$ tales que para todos los $n\in\mathbb{N}^*$, $f'(c_n)=0$ %. Puesto que es continua en $f'$ $0$, debemos tener: $$f'(0)=\lim_{n\to+\infty}f'(c_n)=0.$ $

Ahora repita el proceso.

Answer 2

Asumir $f$ es diferenciable y hay $a_n \rightarrow 0$, que $f(a_n)=0$ entonces appying el valor medio $[a_n, a_{n+1}]$ obtenemos $b_n \in [a_n, a_{n+1}]$

$$f(a_{n+1})-f(a_n)=f^{\prime}(b_n)(a_{n+1}-a_n)$$ so $f^{\prime}(b_n)=0$. Esto debería solucionar el problema.

Answer 3

Engancharía con solución de gniourf_gniourf, pero una alternativa limpia es el hecho de que $$\lim_{h\to0} \sum_{i=0}^n {n \choose i} (-1)^{n-i} f(ih) = f^{(n)}(0)$$ now take $h = 1/m!$ to get $i/m! = 1 / (1 \cdot 2 \cdots (i-1) \cdot (i + 1) m)$ in the arguments of $f$. In particular $f$ vanishes at $i/m!$ \cdots.

Así $f^{(n)}(0)$ es el límite de la secuencia de cero y es cero.