Dejemos que $p$ sea el número de elementos en $A$ .
Dejemos que $q$ sea el número de elementos en $B$ .
Si el número de funciones de $A$ a $B$ es igual a $q^p$ entonces:
Bueno, la única manera de que haya funciones uno a uno $A\to B$ es que A sea más pequeño, es decir: $p\leq q$ .
En este caso, elegir dicha función es lo mismo que elegir el $p$ elementos de $B$ que están en la imagen del mapa. Por lo tanto, el número de tales mapas es el número de formas de elegir $p$ elementos fuera de $q$ donde el orden importa, ya que nos importa la función real y no sólo su imagen. Por lo tanto, hay $\frac{q!}{(q-p)!}$ tales mapas.
Tras un recuento similar, podemos decir que el número de tales mapas es igual al número de formas de romper un $p$ elemento establecido en $q$ subconjuntos no vacíos, correspondientes a las fibras sobre los elementos de $B$ .
Esto es más difícil. Estos se llaman los números de Stirling del segundo tipo , $s(p,q)$ .
1) Construir una función y llevar la cuenta de cuántas opciones tenemos. Empieza con un elemento en $A$ , usted tiene $q$ opciones para su imagen. Consideremos entonces un segundo elemento en $A$ para mantener su función uno-a-uno sólo tiene $q-1$ opciones para su imagen. A continuación, tendrá $q-2$ opciones para una imagen de un tercer elemento de $A$ y así sucesivamente... Hasta $q-p+1=q-(p-1)$ opciones para el $p$ - el primero. En conclusión, usted tiene $q(q-1)...(q-(p-2))(q-(p-1))=q!/(q-p)!$ posibles funciones inyectivas. Por supuesto, esto sólo es posible si $p\leq q$ .
2) Esto es más complicado, pero ya se ha preguntado Calcular el número total de funciones sobreyectivas .
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