Ecuación funcional $f(xy)=f(x)+f(y)$ y la continuidad

Question

Demostrar que si $f:(0,\infty)\mathbb{R}$ Satisfaciendo a $f(xy)=f(x)+f(y)$ y si $f$ es continua en $x=1$ entonces $f$ es continua para $x>0$ .

Dejo que $x=1$ y encuentro que $f(x)=f(x)+f(1)$ lo que implica que $f(1)=0$ . Así que, $\lim_{x\to1}f(x)=0$ pero ¿cómo puedo usar esto para demostrar la continuidad de $f$ por cada $x \in \mathbb R$ ?

Se agradece cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Dar $x_0>0$ , $$f(x)-f(x_0)=f\left(x_0\cdot\frac{x}{x_0}\right)-f(x_0)=f\left(\frac{x}{x_0}\right),$$ por $f$ es continua en $x=1$ cuando $x\to x_0$ , $\frac{x}{x_0}\to1$ entonces $$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

Answer 2

$f(a^+)=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}f(a(1+\epsilon))=\lim_{\epsilon \rightarrow 0}(f(a)+f(1+\epsilon))=f(a)+f(1)$

Hemos utilizado desde la continuidad de $f$ en $x=1$ en $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}f(1+\epsilon)=f(1)$ . Ahora, fíjate $f(1)=0$ ya que $f(x)=f(x\times1)=f(x)+f(1)$ para todos los $x$ Así que podemos decir $f(a^+)=f(a)$ .

Con el mismo razonamiento se puede decir $f(a^-)=f(a)$ , por lo que su función es continua para valores positivos.