¿Es todo espacio de Hilbert la terminación de algún espacio pre-Hilbert incompleto?

Question

¿Es todo espacio de Hilbert la terminación de algún espacio pre-Hilbert incompleto? Sin duda, es cierto para el espacio de Hilbert clásico. Pero para un espacio de Hilbert general, imagino que se utiliza alguna noción generalizada de bases, de la que no sé nada.

Answer 1

Todo espacio vectorial normado finito es completo, por lo que un espacio de Hilbert finito no puede ser la terminación de un espacio pre-Hilbert incompleto. Pero todo espacio de Hilbert infinito es la competencia de un espacio pre-Hilbert incompleto. De hecho, es la terminación de cualquier subespacio denso, así que sólo hay que encontrar un subespacio propio denso. Se puede hacer esto, por ejemplo, tomando una base ortonormal $B$ para el espacio de Hilbert y tomando el subespacio de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de $B$ .

Answer 2

Todo espacio de Hilbert de dimensión infinita $H$ es la terminación de algún espacio pre-Hilbert, sí. Sólo hay que tomar una forma lineal discontinua $\alpha\colon H\longrightarrow\mathbb C$ y considerar su núcleo. Es un subespacio denso de $H$ , distinta de la misma.