Interpretación de los índices de nivel, tendencia y estacionalidad en el suavizado exponencial de Holt-Winters

Question

Estoy intentando aprender el alisamiento exponencial de Holt-Winters. En el algoritmo hay tres índices involucrados ( level , trend , seasonality ) durante la previsión.

Mis preguntas:

1. ¿Cuál es la interpretación de estos 3 índices?
2. ¿Cómo diferencio los distintos valores de estos índices? Por ejemplo, ¿cuál es la diferencia entre el nivel 100 y el nivel 200 o cuál es la diferencia entre la tendencia 2 y la tendencia 5?
3. ¿Cómo iniciamos estos valores?

Answer 1

1. Como ya sabe, primero se inicializan los tres índices, luego se actualizan a lo largo del periodo histórico y, por último, se extrapolan al futuro para obtener la previsión a partir de sus valores extrapolados.

   En un momento dado, el índice de nivel da una estimación de la media local, o "nivel" del proceso generador de datos (PdD), en ese momento. El índice de tendencia proporciona una estimación de la tendencia en ese momento, es decir, el cambio entre puntos temporales sucesivos. Por último, el índice de estacionalidad estima la desviación de la media local debida a la estacionalidad.

   Por lo tanto, en la previsión, el nivel se extrapolará "tal cual", ya que esperamos que los cambios futuros en la serie temporal sean impulsados únicamente por los otros dos índices. El valor de la tendencia también se extrapolará "tal cual", o se reducirá lentamente si se utiliza una tendencia amortiguada, lo que dará lugar a una serie temporal pronosticada cuyo crecimiento (o decaimiento) se vuelve asintóticamente plano. La amortiguación de la tendencia suele mejorar la precisión a largo plazo. Por último, la estacionalidad se extrapola mirando hacia atrás exactamente un ciclo: para el próximo mes de marzo, se utilizaría el índice de estacionalidad del pasado mes de marzo, para el próximo mes de abril, el del pasado mes de abril, y así sucesivamente.

2. Si, en un momento determinado, la tendencia local es 100, esto significa que el modelo estima que la media local de la DGP es la mitad que si fuera 200. Si la tendencia en ese momento es 2, significa que el crecimiento estimado entre dos puntos temporales es 2 (y un índice de tendencia de 5 indica un crecimiento estimado de 5).

3. Hay varias formas de inicializar estos valores. Puede inicializar la media por el promedio general, o por el promedio de las primeras observaciones, o simplemente por la primera observación. Se puede inicializar la tendencia por la diferencia entre la última y la primera observación, dividida por $n-1$ si tiene $n$ observaciones (porque $n$ las observaciones le dan $n-1$ incrementos), o por una línea de tendencia de regresión. Puede inicializar la estacionalidad mediante las desviaciones entre las observaciones del primer año y el ajuste de nivel+tendencia, o tomar las medias de estas desviaciones en todos los años de su historial.

   Si se utiliza un enfoque de espacio de estados, se puede inicializar todo esto a través de la máxima verosimilitud. Sin embargo, esto suele ser muy gravoso desde el punto de vista informático (los datos mensuales requieren 12 índices estacionales; con el nivel y la tendencia, habría que estimar 14 parámetros), a cambio de una escasa ganancia en la precisión de la previsión, por lo que el software suele utilizar una heurística como la del párrafo anterior.

Puede resultar muy informativo trazar la evolución de sus índices a lo largo del tiempo. He aquí un ejemplo, utilizando forecast::ets en R, que implementa un enfoque de espacio de estados, y que obligamos a utilizar un modelo con tendencia aditiva, estacionalidad y error, por lo que se trata esencialmente de Holt-Winters:

> library(Mcomp)
> library(forecast)
> 
> model <- ets(M3[[1998]]$x,model="AAA")
> model
ETS(A,A,A) 

Call:
 ets(y = M3[[1998]]$x, model = "AAA") 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.9947 
    beta  = 4e-04 
    gamma = 1e-04 

  Initial states:
    l = 3552.7263 
    b = 7.9458 
    s=154.906 -7.4477 98.1232 -14.7209 -79.7366 -117.3236
           -154.2015 -9.4785 181.9343 216.3269 -152.2493 -116.1322

  sigma:  139.8064

     AIC     AICc      BIC 
1886.317 1891.308 1931.697 
> plot(model)

Por último, recomiendo encarecidamente este libro de texto gratuito de previsión en línea especialmente, por supuesto, el capítulo sobre el alisamiento exponencial. Uno de los autores es el autor y encargado de mantener el forecast paquete para R que utilicé anteriormente.