Tres estudiantes intentan resolver un problema de forma independiente. Supongamos que los tiempos que tarda cada estudiante en resolver el problema son iid según U(0,30). Encuentre la probabilidad de que el estudiante que termina en último lugar tarde más del doble de tiempo que el estudiante que termina en primer lugar. ¿Cuál es la respuesta si hay n estudiantes y la distribución es U(0,x)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Encuentre $\mathsf P(Y_{(3)}>2Y_{(1)})$ , la probabilidad de que el mayor de tres rv iid sea más que el doble del menor.
Es decir, la probabilidad de que uno de los valores sea más que el doble de otro, y que el tercer valor se encuentre en algún punto entre ambos; para cualquier selección de los tres v.r.
$$\begin{align}\mathsf P(Y_{(3)}>2Y_{(1)}) & = \int_0^{\boxed{15}} \boxed{3}\,f(x)\int_{\boxed{2x}}^{30} \boxed{2}\,f(y) \boxed{\big(F(y)-F(x)\big)}\operatorname d y\operatorname d x \\[1ex] & = 6\int_0^{15}\int_{2x}^{30}\dfrac{(y-x)}{30^3}\operatorname d y \operatorname d x \\[1ex] & = \dfrac 3 4\end{align}$$
Completa los espacios en blanco y luego extiende el mismo principio a la multitud.
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¿Cuál es el mayor valor mínimo que otro valor del intervalo puede ser dos veces o más?
15
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¿Cuántas formas hay de elegir una variable que sea la estadística de menor orden?
3?
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¿Dónde empieza el intervalo de la estadística de mayor orden?
- Sugerencia: queremos la probabilidad de que sea al menos el doble de la menor o.s.
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¿De cuántas maneras se puede seleccionar una variable para que sea la estadística más ordenada (dado un mínimo de s.o.)?
2
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¿Qué va en los paréntesis para la(s) estadística(s) de orden medio (que debe estar en algún lugar entre las estadísticas de menor y mayor orden)?
No estoy seguro - William Bernard
- Una pista: $F(z)=\frac{z}{30}\mathbf 1_{[1;30]}(z)+\mathbf 1_{(30;\infty)}(z)$ es la FCD de la distribución, $f(z)=\frac 1{30}\mathbf 1_{[0;30]}(z)$ es el pdf.
$$\begin{align}\mathsf P(Y_{(n)}\geq 2Y_{(1)}) & = \int_0^{1/2} \int_{2 x}^1 n(n-1) (y-x)^{n-2} \operatorname dy \operatorname dx \\[1ex] & = (1-2^{-(n+1)}) \end{align}$$
