Dado un espacio de medidas y f una función de conjunto positiva sobre el álgebra sigma del espacio (no idénticamente infinita), ¿cómo podría demostrar que f es una medida dada la hipótesis anterior?
Lo he intentado tanto por contradicción como por inducción, pero me cuesta un poco la intuición.
Sí.
La aditividad finita implica la siguiente desigualdad:
$$ \mu \left(\bigsqcup\limits_{i = 1}^{\infty} A_i \right) \geq \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \mu(A_i) $$
Sí, es cierto,
$$ \mu \left(\bigsqcup\limits_{i = 1}^{\infty} A_i \right) = \mu \left(\bigsqcup\limits_{i = 1}^{N} A_i \right) + \mu \left(\bigsqcup\limits_{i = N+1}^{\infty} A_i \right) \geq \mu \left(\bigsqcup\limits_{i = 1}^{N} A_i \right) = \sum\limits_{i = 1}^{N} \mu(A_i) $$
Tomando los límites de ambos lados de la desigualdad se termina la prueba.
Obviamente, la subaditividad contable (o también llamada $\sigma$ -subaditividad) implica la desigualdad opuesta.
Combinando las ideas anteriores, se puede concluir que una aditividad finita y una subaditividad contable implican una aditividad contable.
No. Toma $\mathbb N$ con la discreta $\sigma$ -Álgebra $(2^{\mathbb N})$ y definir $$ \mu(A) = \begin{cases} 0,& A=\varnothing \\ \sum_{n\in A} 2^{-n},& A \ne \varnothing, A\ne\mathbb N\\ 2^{-1},& A=\mathbb N.\end{cases} $$ Entonces la aditividad finita y la subaditividad contable se mantienen, pero $$\mu(\mathbb N) = \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty \{n\}\right) = 2^{-1} \ne 1 = \sum_{n=1}^\infty \mu\{n\}, $$ por lo que la aditividad contable no se sostiene.
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