Límite de la suma de la función periódica

Question

Dejemos que $f_1,f_2,...,f_n$ son funciones periódicas, si $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n f_i(x)$ es existente y acotado.

Cómo mostrar $\sum_{i=1}^n f_i(x)\equiv C$ ?

$C$ es una constante.

Answer 1

(esto supone la continuidad del $f_i$ (todavía estoy pensando en cómo quitarlo)

Supongamos que $F(x):=\sum_i f_i(x)\to C$ , donde $f_i(x+p_i)=f_i(x)$ para cada $i$ .

Ahora, encuentra una secuencia de reales positivos $h_N$ aumentando a $\infty$ que está simultáneamente cerca de $p_i\mathbb{Z}$ para todos $i$ es decir

$$h_N=a_i^{(N)}p_i+\varepsilon_N^{(i)}, \text{where }z_N^{(i)}\in\mathbb{Z}, \varepsilon_N^{(i)}\to 0$$

como al señalar Teorema de aproximación simultánea de Dirichlet aplicado a $\{\frac{1}{p_1},\frac{1}{p_2},...,\frac{1}{p_n}\}$ podemos encontrar enteros $a_i^{(N)}$ y un número entero $h_N\le N$ tal que para cada $i$ :

$$\left\vert \frac{1}{p_i}-\frac{a_i^{(N)}}{h_N}\right\vert \le \frac{1}{h_N N^{1/n}}$$

Tras la reorganización, esto se convierte en $\vert h_N - a_i^{(N)}p_i \vert \le \frac{p_i}{N^{1/n}}\to0$

Entonces, para cualquier $x$ :

$$\lim_{n\to\infty}F(x+h_n)=\lim_{x\to\infty}F(x)=C$$

$$\lim_{n\to\infty}F(x+h_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_i f_i(x+h_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_i f_i(x+\varepsilon_n^{(i)})=\sum_i f_i(x)=F(x)$$

Así que, $F(x)=C$ para todos $x$ .

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Prueba alternativa

Dejemos que $P(n)$ sea la afirmación "Si una suma de $n$ funciones periódicas tiene un límite $C$ entonces esta suma es igual a $C$ para todos $x$ ".

1. Si $f$ es $p$ -periódico y tiende a $C$ entonces para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $N$ tal que $x>N\implies \vert f(x) - C \vert < \varepsilon$ . Pero la periodicidad da que esto es realmente cierto para todos $x$ . Como esto es cierto para cualquier $\varepsilon > 0$ , obtenemos que $f=C$ para todos $x$ . Así que, $P(1)$ es cierto.

2. Supongamos que $P(1), P(n-1)$ son verdaderos, y considerar una suma de $n$ funciones periódicas, $F(x)=\sum_1^n f_i(x)$ con límite $C$ donde en particular, $f_n$ tiene periodo $p_n$ . Entonces $F(x+p_n)-F(x)=\sum_1^{n-1} [f_i(x+p_n)-f_i(x)]$ es una suma de $(n-1)$ funciones periódicas, y converge a $0$ por lo que es igual a $0$ por $P(n-1)$ .

Así que, $F$ es $p_n$ -periódica, y converge a $C$ y $P(1)$ nos dice que es idéntica a $C$ como resultado, es decir $P(n)$ es cierto.

Así, por inducción, $P(n)$ es cierto para todos los $n$ y cualquier suma finita de funciones periódicas con límite en $\infty$ es constante.

Answer 2

No creo que sea cierto en toda la generalidad de la pregunta. El autor de la pregunta tiene que dar más información sobre el dominio y el rango de las funciones. He aquí un contraejemplo.

Definir $\chi_n(m) = \begin{cases} 1 , \text{ if } m \in (n), \\ 0, \text{ if } m \notin (n) \end{cases},$

donde $(n) \subset \Bbb{Z}$ es el ideal generado por $n \in \Bbb{N}$ . Entonces cada $\chi_n$ es periódica de periodo $n$ . $\chi_m \chi_n = \chi_{\text{lcm}(m,n)}$ y la función característica para $(n) \cup (k)$ es $\phi = 1 - (1-\chi_n)(1- \chi_k) = \chi_n + \chi_k - \chi_k \chi_n$ . En general, para el conjunto finito $n= \{(n_i)\}_{i=1..N}$ de ideales podemos utilizar el principio de inclusión-exclusión para calcular $\phi_{\cup n}$ . Por ejemplo, $n = \{(a), (b), (c)\}$ y $\phi_{\cup n} = \chi_a + \chi_b + \chi_c - \chi_a\chi_b - \dots + \chi_a \chi_b \chi_c$ .

Desde $\phi_{\cup n}$ es una suma finita de funciones periódicas con período entero, su período es simplemente el lcm de todo que es simplemente $\text{lcm}(n_1, \dots, n_N)$ .

Ahora dejemos que $\psi_n = \phi_{\cup \{(2), \dots, (n)\}}$ . Entonces $\psi_n$ es una suma parcial finita de funciones periódicas, y

$$ \lim\limits_{n\to \infty} \psi_n (m) = 1 $$

siempre para $x \in \Bbb{N}\setminus \{1\}$ (¿por qué?), pero sus sumas parciales no son tan constantes.