Diferenciación de integrales

Question

Este problema aparece como ejemplo 2d del capítulo 5 en "A First Course in Probability - Ross, 8th ed."

Supongamos que si se llega s minutos antes a una cita, se incurre en el coste cs, y si se llega s minutos tarde, se incurre en el coste ks. Supongamos también que el tiempo de viaje desde el lugar en el que se encuentra hasta el lugar de la cita es una variable aleatoria continua con una función de densidad de probabilidad f . Determine la hora a la que debe partir si quiere minimizar su coste esperado.

Si dejamos que X denote el tiempo de viaje, y usted sale t minutos antes de su cita, entonces su coste, $C_t(x)$ está dada por:

$C_t(x)$ = c(t - X) si X $\le$ t

$C_t(x)$ = k(X - t) si X $\ge$ t

Por lo tanto,

E[ $C_t(x)$ ] = $\int_0^tC_t(x)f(x)dx$

\= $\int_0^tc(t - x)f(x)dx$ + $\int_t^{\infty}k(x - t)f(x)dx$

\= ct $\int_0^tf(x)dx$ - c $\int_0^txf(x)dx$ + k $\int_t^{\infty}xf(x)dx$ - kt $\int_t^{\infty}f(x)dx$

El valor de t que minimiza E[ $C_t(x)$ ] se puede obtener mediante:

$\frac{d}{dt}$ E[ $C_t(x)$ ] = ct*f(t) + c*F(t) - ct*f(t) - kt*f(t) + kt*f(t) - k[1 - F(t)]

\= (k + c)F(t) - k

¿Podría alguien explicar los pasos de esta diferenciación?

Answer 1

Por el Teorema fundamental del cálculo, la derivada con respecto a $t$ de $\int_a^t g(x)\,dx$ es $g(t)$ .

Veamos el primer término $ct\int_0^t f(x)\,dx$ . Esto es un producto, utilizamos la regla del producto. La derivada es $ct$ veces la derivada de $\int_0^t f(x)\,dx$ , además $\int_0^t f(x)\,dx$ veces la derivada de $ct$ .

Los dos términos siguientes son más fáciles. Por ejemplo, según el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada con respecto a $t$ de $c\int_0^t xf(x)\,dx$ es $ctf(t)$ . El cuarto término se maneja de manera muy similar al primer término..

Tenga en cuenta que $\int_0^t f(x)\,dx$ también puede escribirse como $F(t)$ .