Formación de la ecuación diferencial de segundo orden a partir de soluciones dadas utilizando el Wronskian. (y alguna ayuda general)

Question

Para $$y''+p(x)y'+q(x)y=0 \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space (\star)$$ tenemos $$W'(x)=-p(x)W(x) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space (\dagger)$$ donde $W(x)$ es el Wronskian definido como $W(x)=y_1y_2'-y_1'y_2$ para soluciones linealmente indepedientes $y_1$ y $y_2$ de $(\star)$ .

La pregunta nos pide que usemos esto para encontrar $p(x)$ y $q(x)$ tal que $y_1(x)=1+\cos x$ y $y_2=\sin x$ . Resolver $(\dagger)$ para $W(x)$ nosotros tenemos $W(x)=W_0\int^x_{x_0}-p(u) \space du$ .

Aquí es donde estoy teniendo problemas; mis notas tienen que $W_0=W(x_0)$ para algunos $x_0$ Ahora dice que podemos elegir $x_0$ como lo que queramos y me parece bien bien con eso, pero lo que me molestaba (y la pregunta va sobre preguntar) es que si podemos elegir $x_0$ como lo que queramos, lo que sucede en $x_0=\pi$ ? Nos gustaría tener $W=0$ lo que me confunde ya que el teorema de Abel tiene que $W(x)=0$ o $W(x)\ne0$ para todos $x$ -

¿He entendido mal?

Además, si podemos tener $W_0$ como lo que queramos eligiendo conveniente $x_0$ seguramente podemos elegir $W_0=1$ y luego poner el dado $y_1$ y $y_2$ tenemos $(1+\cos x)\sin x+\sin x\cos x=\sin 2x+\sin x=\exp({\int^x_{x_0}-p(u)\space du})$ $$\implies p(x)=-\frac d{dx}(\log(\sin 2x+\sin x)=-\frac{2\cos 2x+\cos x}{\sin 2x+\sin x}$$ ¿dónde está $q(x)$ ¿se ha metido en las cosas? Configuración $q(x)=0$ con este $p(x)$ no funciona.

Creo que todavía no he entendido bien algunas de estas cosas, así que se agradece mucho una respuesta o una ayuda general.

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, no se puede elegir $x_0=\pi$ ya que verás que en ese momento $p(x)$ no es continua. Y esta es una condición necesaria para el Teorema de Abel.

Para encontrar $p(x)$ , computa $W=y_1y_2'-y_1'y_2=\cos x+1$ . A continuación, introduzca esto en $$W'(t)=-p(x)W(t).$$ Desde $W'(t)=-\sin x$ Esto le da a usted $$p(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$$ Entonces utiliza la ecuación original. Introduzca una de las siguientes opciones $y_1$ o $y_2$ en él. A continuación, puede obtener $q(x)$ .