Un ejemplo similar al álgebra de Grassmann es el polinomio. En el álgebra abstracta, los polinomios de un símbolo $x$ (o variable ficticia) sobre un campo (por ejemplo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ) forman una estructura de anillo. Véase, por ejemplo,
https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_ring
En el anillo de polinomios, los polinomios no se entienden como funciones de $x$ pero las expresiones. La variable $x$ en un polinomio, por ejemplo, $1-2x+x^3$ no se entiende como un número, sino sólo como un símbolo. La insistencia en este punto no parece tan necesaria en el caso de los polinomios, ya que sí se obtiene un número del polinomio cuando se introduce un número en $x$ . Pero esta comprensión "simbólica" de los polinomios ayuda a generalizar su concepto a las series de potencias formales. Véase, por ejemplo,
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
La serie infinita del símbolo $x$ es sólo una expresión. Esto ahorra la preocupación de los problemas de convergencia. Se puede escribir, por ejemplo $1+x+2!x^2+\cdots+n!x^n+\cdots$ como una serie de potencia formal sin ningún problema, aunque el radio de convergencia de la serie infinita es $0$ lo que significa que la serie infinita no está bien definida para todo $\,x\neq 0\,$ cuando se entiende como una función. Por supuesto, tiene que haber reglas más estrictas sobre cómo manipular estas expresiones formales para que el resultado esté siempre bien definido.
Es una pequeña digresión hablar de las series de potencia formales. Pero la visión simbólica de la variable $x$ en polinomios nos ayuda a entender el álgebra de Grassmann. Antes, pensemos en un anillo de polinomios de dos símbolos $x$ y $y$ . Aunque no sepamos qué $x$ y $y$ representan, asumimos $xy=yx$ para hacer frente a multiplicaciones como $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ . De lo contrario, el $xy$ plazo y $yx$ no se cancelan. Incluso para un símbolo $x$ tenemos que suponer que $xx^2=x^2x=x^3$ . Si la multiplicación del símbolo no es asociativa, un polinomio de $x$ tampoco está bien definido.
A diferencia de un anillo polinómico multivariante, el álgebra de Grassmann hace una suposición diferente de cómo la multiplicación entre los símbolos $x$ y $y$ funciona. En lugar de asumir $xy=yx$ la multiplicación entre símbolos (o generadores) del álgebra de Grassmann anticonmuta, es decir, $xy=-yx$ . No sólo eso, un símbolo también se anticonmuta consigo mismo, es decir, $x^2=-x^2=0$ . Así que el objeto más general de un álgebra de Grassmann con $2$ símbolos $x$ y $y$ viene dada por la expresión
$$a+bx+cy+dxy,$$
donde $a,b,c,d$ son números del campo sobre el que se define el álgebra de Grassmann. Pueden ser números reales, complejos, etc. Los símbolos $x$ y $y$ no pertenecen a estos campos. Son sólo los símbolos. Así que las multiplicaciones entre los coeficientes $a,b,c,d$ conmutan como los números reales o complejos normales, mientras que las mutaciones entre los símbolos $xy=-yx$ anti-camino. Una multiplicación de dos objetos en el álgebra de Grassmann viene dada por \begin{align} &(a_1+b_1x+c_1y+d_1xy)(a_2+b_2x+c_2y+d_2xy)\\ =a_1a_2+(a_1&b_2+a_2b_1)x+(a_1c_2+a_2c_1)y+(b_1c_2-b_2c_1+a_1d_2+a_2d_1)xy. \end{align} También podemos tener un álgebra de Grassmann sobre campos de cuaterniones. Entonces los coeficientes $\,a,b,c,d\,$ en general no se desplazan. Un paso a la vez.
