Cardinalidad de los conjuntos de Borel

Question

Estaba tratando de mostrar que Borel $\sigma$ El álgebra es menor que los conjuntos medibles de Lebesgue. Yo podría demostrar que la cardinalidad de los conjuntos medibles de Lebesgue es $2^c$ . La cardinalidad de los conjuntos de Borel es al menos tan grande como la de los reales. Así que me queda demostrar que su cardinalidad es menor que $2^c$ . Esto también parece ser contradictorio porque la hipótesis del continuo afirma que no hay cardinalidad entre $C$ y $2^c$ . Si alguien puede ayudar sería genial. Gracias

Answer 1

El conjunto de Borel propiamente dicho es un conjunto de tamaño $\frak c$ que sí es menor que $2^\frak c$ , la cardinalidad de los conjuntos medibles de Lebesgue. Así que no hay contradicción con ninguna forma de hipótesis de continuidad.

La prueba más sencilla que conozco implica la inducción transfinita, y la jerarquía interna de los conjuntos de Borel. Así que no sólo se ven los conjuntos de Borel como "el más pequeño $\sigma$ -incluyendo los conjuntos abiertos", sino que se construye en $\omega_1$ pasos de los conjuntos abiertos. Entonces se puede demostrar por inducción que cada paso en el camino tiene cardinalidad $\frak c$ por lo que todo el álgebra tiene un tamaño $\aleph_1\cdot\frak c=c$ .