Pregunta sobre una prueba de la desigualdad de Wirtinger

Question

He estado buscando una prueba de la desigualdad de Wirtinger que no utilice el análisis de Fourier (todavía no he aprendido el análisis de Fourier). He encontrado una prueba en Internet que no entiendo muy bien. Voy a esbozar los detalles a continuación.

Teorema: Dejemos que $f(x):[0,\pi] \to \mathbb{R}$ ser un $C^1$ función. Si $f(0)=0$ y $f(\pi)=0$ entonces $\displaystyle\int_0^{\pi} f'(t)^2dt\geq\int_0^{\pi}f(t)^2dt$ .

Prueba: Considere $g(t)=\displaystyle \frac{f(t)}{\sin(t)}$ .

Observamos que $g(t)$ es diferenciable en los puntos extremos por la regla de L'Hopital. Así que tenemos $f'(t)=g(t)\cos(t)+g'(t)\sin(t)$ .

Así, $$\int_0^\pi f'(t)^2dt=\int_0^\pi\left[ g(t)^2\cos^2+2g(t)g'(t)\cos(t)\sin(t)+g'(t)^2\sin^2(t)\right]dt$$

Utilizando la integración por partes, tenemos $$2\int_0^{\pi}g(t)g'(t)\cos(t)\sin(t)dt=-\int_0^\pi g(t)^2\left(\cos(t)^2-\sin(t)^2\right)dt$$

Ergo \begin{align} \int_0^\pi f'(t)^2dt &= \left(g(t)^2+g'(t)^2\right)\sin(t)^2dt\\ &=\int_0^{\pi}f(t)^2dt+\int_0^\pi g'(t)^2\sin^2(t)dt\\ &\geq \int_0^{\pi}f(t)^2dt \end{align}

La igualdad sólo se consigue cuando $f(t)=c\sin(t+d)$ para algunas constantes $c$ y $d$ .

Hay dos partes de esta prueba que no entiendo. Primero, ¿cómo podemos derivar que $g(t)$ es diferenciable en los puntos extremos utilizando la regla de l'Hopital, y por qué es necesario?

En segundo lugar, no entiendo el paso intermedio utilizando la integración por partes. Sólo he podido conseguir que $$2\int_0^{\pi}g(t)g'(t)\cos(t)\sin(t)dt=g(t)^2\sin(t)\cos(t)\Big|_0^{\pi}-\int_0^\pi g(t)^2\left(\cos(t)^2-\sin(t)^2\right)$$

Si alguien pudiera explicarme esta prueba, o aportar otra que no utilice el Análisis de Fourier, se lo agradecería enormemente.

Answer 1

En realidad, teniendo en cuenta sólo que $f(0) = f(\pi) = 0$ y $f$ es continuamente diferenciable en $[0,\pi]$ no puedes "usar la regla de l'Hopital" para probar que $g(t) = \frac{f(t)}{\sin t}$ es diferenciable en $t=0$ porque no es necesariamente cierto.

Por ejemplo, considere $$ f(t) = t^3 \sin\left(\frac{\pi^2}{t}\right) $$ En $t=0$ (y en todas partes) este $f(t)$ es diferenciable y la derivada es continua, por lo que $f(t) \in C^1$ . (Nótese, sin embargo, que no es dos veces diferenciable en $t=0$ .) Ahora considere $$g(t) = \frac{f(t)}{\sin t} = \frac{t^3}{\sin t} \sin\left(\frac{\pi^2}{t}\right) $$ En $t=0$ , si $g(t)$ fueran diferenciables, entonces $$ \lim_{t\to 0} \frac{dg(t)}{dt} = \lim_{t\to 0} \left[ \frac{\left(3t^2 -t^3 \cot t\right) \sin \frac{\pi^2}{t} -\pi^2 t \cos\frac{\pi^2}{t} }{\sin t} \right] $$ tendría que existir. Pero esa función toma todos los valores en $(-\pi^2,\pi^2)$ en cada intervalo, por pequeño que sea, que incluye $t=0$ por lo que el límite no existe.

Por supuesto, la diferenciabilidad de $\frac{f(t)}{\sin t}$ es en realidad más fuerte que lo que necesitas para demostrar la desigualdad de Wirtinger.

Pero las herramientas necesarias para demostrar la desigualdad son tan similares a los pasos necesarios para embarcarse en el análisis de Fourier que no conozco a nadie que demuestre la identidad sin basarse en las condiciones de Dirichlet y/o la identidad de Parseval. La prueba en Wikipedia (segunda versión, tomando $a=\pi$ ) no dice directamente que utiliza el análisis de Fourier, pero está claro que eso es lo que ocurre.