Si el conjunto en el que una función integrable de Riemann $f$ es distinto de cero tiene el interior vacío entonces la integral de $|f|$ es $0$ .

Question

$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es integrable en Rieman y $X=\{x\in [a,b] : f(x)\neq 0\}$ tiene el interior vacío.

demostrar que $\int_a^b|f(x)|dx=0.$

Creo que es un ejercicio fácil de teoría de la medida. Pero cómo resolverlo sin el conocimiento de la teoría de la medida y sólo utilizando el análisis real.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ sea una partición $P$ de $[a,b].$ Entonces, como $X$ tiene el interior vacío, la suma inferior de Riemann $$ L(f,P)=\sum_{k=0}^{n-1} \min_{x\in[x_k,x_{k+1}]} |f(x)|\Delta_k=0. $$ Tomar el supremum sobre todas las particiones $P$ y tenemos que la integral de Riemann inferior es cero. Por integrabilidad, el resultado se deduce.

Answer 2

Esto es más bien un comentario con respecto a tu observación sobre la teoría de la medida, pero es demasiado largo, así que lo pondré aquí en su lugar.

La afirmación que quieres demostrar es en realidad falso si interpretamos la palabra integrable en el sentido de Lebesgue.

De hecho, considere $[a,b] = [0,1]$ y que $X\subset [0,1]$ sea el conjunto gordo de Cantor . $X$ es un conjunto cerrado (por lo tanto medible) con interior vacío pero tiene medida positiva, por lo que la función $$ f(x)=\begin{cases} 1 &; x\in X \\ 0 &; x\notin X\end{cases} $$ es integrable, el conjunto $\{x\in [0,1] : f(x)\neq 0\}$ tiene el interior vacío pero $\int_0^1 |f(x)| dx>0$ .

Sin embargo, lo anterior $f$ no es Integrable de Riemann . Lo más probable es que la afirmación que intentas demostrar se refiera a la integración de Riemann.