encontrar la función generadora del momento y la FCD con pmf

Question

La variable aleatoria X tiene la fdc f(-1)=1/4, f(0)=1/8, f(1)=1/4, f(2)=3/8 a) ¿Cómo dibujarías la f.d.c. con los puntos (-2,F(-2)), (-1,F(-1)), (0,F(0)), (1,F(1)), (2, F(2)), (3,F(3))? b)Escribe el MGF de esta distribución c) Rango y f.m.p. de X^(2)

Para la fdc he tratado de dar con una ecuación que satisfaga los valores pero no he podido ¿Supongo que la fdc es la antiderivada de dicha ecuación? para la pmf deberia incluir f(-1)=1/4 ? yo pensaba que la pmf f(x)>0

Answer 1

(1) No creo que se espere que dé una sola "ecuación".

Tenemos $F(-2)=\Pr(X\le -2)=0$ .

De la misma manera, $F(-1)=\Pr(X\le -1)=\frac{1}{4}$ .

También, $F(0)=\Pr(X\le 0)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$ .

También, $F(1)=\Pr(X\le 1)=\frac{5}{8}$ .

También, $F(2)=1$ . Y $F(3)=1$ .

Para entender lo que hicimos, recuerda que estamos calculando el acumulado función de distribución.

(2) Para la función generadora de momentos, obsérvese que queremos $E(e^{Xt})$ . Tenga en cuenta que $X=-1$ con probabilidad $\frac{1}{4}$ , $X=0$ con probabilidad $\frac{1}{8}$ , $X=1$ con probabilidad $\frac{1}{4}$ y $X=2$ con probabilidad $\frac{3}{8}$ . Así que $e^{Xt}$ toma valores $e^{-t}$ , $1$ , $e^t$ y $e^{2t}$ con las probabilidades que acabamos de enumerar. Por lo tanto, el mgf es $$\frac{1}{4}e^{-t}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}e^{t}+\frac{3}{8}e^{2t}.$$

(3) para la función de masa de $X^2$ , tenga en cuenta que $X^2$ asume los valores $0$ , $1$ y $4$ . El evento $X^2=0$ ocurre precisamente si $X=0$ sucede. La probabilidad de esto es $\frac{1}{8}$ .

El evento $X^2=1$ puede ocurrir en $2$ maneras, si $X=-1$ y si $X=1$ . Por lo tanto, la probabilidad de que $X^2=1$ es $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$ .

Finalmente, $\Pr(X^2=4)=\frac{3}{8}$ .

Observación: Para la función de distribución acumulativa $F(x)$ de este tipo de discreto distribución, la integral tradicional no sirve de mucho. En nuestro caso, $F(x)=0$ para todos $x\lt -1$ . Entonces, en $x=-1$ , $F(x)$ salta a $\frac{1}{4}$ . Permanece en $\frac{1}{4}$ para todos $x$ con $-1\le x\lt 0$ . Entonces, en $0$ it salta a $\frac{3}{8}$ donde permanece para $0\le x\lt 1$ . En $1$ salta a $\frac{5}{8}$ y luego salta a $1$ en $x=2$ y se queda ahí para todos $x\ge 2$ .