¿Implica la relatividad general la existencia de bucles en el espacio?

Question

Todos los que se han interesado por la ciencia moderna han escuchado explicaciones (ciertamente simplificadas) de la relatividad general, principalmente que el espacio es curvo. La analogía con una lámina de goma es muy popular. En dicha analogía, se dice que los planetas en órbita siguen naturalmente " una línea recta en un espacio curvo ".

Suponiendo que no sea una simplificación excesiva, ¿significaría que las órbitas son bucles generados en el espacio por objetos masivos ?

Además, si consideramos el espaciotiempo como una estructura curva, por lo que las líneas no son necesariamente rectas, ¿cuál sería el significado de impulso en ese marco?

Answer 1

Llamar a las órbitas bucles es una línea de pensamiento peligrosa. Los objetos que no están bajo la influencia de otras fuerzas siguen geodésica que son el equivalente espacial curvo de las líneas rectas. Y, aunque es tentador decir que la órbita de un planeta es efectivamente un bucle en el espaciotiempo, permítanme intentar convencerles de por qué hay que evitar esa simplificación.

Sí, para el planeta en órbita, sigue una geodésica a través del espaciotiempo que acaba llevándolo alrededor de la estrella anfitriona en un bucle. Así que para el planeta podría digamos que la masa de la estrella ha deformado el espacio-tiempo de tal manera que una línea recta es ahora un bucle. Sin embargo, consideremos objetos con otras velocidades. Por ejemplo, consideremos un rayo de luz. La luz también sigue una línea recta a través del espacio. Pero si se hace brillar un rayo de luz tangente a la órbita del planeta, es probable que no forme un bucle alrededor de la estrella. Entonces, ¿cómo podemos decir que la masa de la estrella ha generado un verdadero bucle en el espacio si no todo sigue este bucle? No podemos. El espacio-tiempo es seguramente curvo, pero cada observador ve su propia curvatura. No es tan sencillo que podamos decir que una estrella curva una línea recta en un bucle cuando no todo se mueve alrededor de ella en un bucle. La relación entre la gravedad, la velocidad y la curvatura es complicada y simplificar demasiado diciendo que la gravedad convierte las trayectorias rectas en bucles en el espacio puede hacer más daño que bien.

En cuanto al significado del impulso, eso no cambia. $\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-m^2c^2}$ sigue siendo la definición de momento y sigue refiriéndose a la energía almacenada en el movimiento de un objeto a través del espaciotiempo.

Answer 2

No.

Un bucle tiene que empezar y terminar en el mismo punto. En la RG esto significa que tiene que empezar y terminar en el mismo punto del espacio-tiempo, es decir, en el mismo punto del tiempo y en el mismo punto del espacio. Estos bucles se denominan curvas cerradas en el tiempo y, con la excepción de algunas geometrías obviamente no físicas, no existen.

Answer 3

Todos los que se han interesado por la ciencia moderna han escuchado explicaciones (ciertamente simplificadas) de la relatividad general, principalmente que el espacio es curvo.

Me temo que esas explicaciones que dicen que el espacio es curvo son engañosas. Ver Báez : "Del mismo modo, en la relatividad general la gravedad no es realmente una 'fuerza', sino sólo una manifestación de la curvatura del espaciotiempo. Nota: no la curvatura del espacio, sino del espaciotiempo. La distinción es crucial". El espaciotiempo curvo es una "métrica curva", y una métrica tiene que ver con la medición. Por ejemplo, se colocan relojes ópticos a lo largo de un corte ecuatorial a través de la Tierra y el espacio circundante, y se trazan las velocidades de los relojes. Se representan los relojes más lentos en la parte inferior de la imagen 3D, y los más rápidos en la parte superior. El aspecto de su gráfico es el siguiente:

Imagen de CCASA por Johnstone, ver Wikipedia

Esta es una imagen de la Wikipedia Artículo sobre el tensor de curvatura de Riemann . Es una representación del espaciotiempo curvo. Y debido a que se deriva de las tasas de reloj óptico, es un gráfico de la "coordenada" velocidad de la luz . Su parcela de medidas es curva, el espacio no lo es. En cambio, el espacio es inhomogéneo y por ello la luz se curva y la materia cae. Obsérvese que se necesita la curvatura para obtener el gráfico del plano y el nivel - se necesita la curvatura para obtener la inclinación, pero la curvatura se relaciona con la fuerza de marea mientras que la inclinación se relaciona con la fuerza de gravedad.

La analogía con una lámina de goma es muy popular. En dicha analogía, se dice que los planetas en órbita siguen naturalmente "una línea recta en un espacio curvo".

La analogía de la sábana de goma no es del todo correcta, pero tampoco es totalmente errónea. Los planetas se mueven un poco como las canicas en una lámina de goma. La inclinación hace que se desvíen hacia el Sol, por lo que acaban dando vueltas y más vueltas.

Suponiendo que no sea una simplificación excesiva, ¿significaría que las órbitas son bucles generados en el espacio por objetos masivos?

No. Las órbitas son las trayectorias curvas de los objetos que se mueven por inhomogéneo espacio y, por tanto, sometido a la fuerza de la gravedad. El objeto masivo central "condiciona" el espacio circundante, alterando sus propiedades, y el efecto disminuye con la distancia.

Además, si consideramos el espaciotiempo como una estructura curva, por lo que las líneas no son necesariamente rectas, ¿cuál sería el significado del momento en dicho marco?

No sé qué decir. El espacio-tiempo puede considerarse como un "universo de bloques" que modela el movimiento a través del espacio en el tiempo como líneas mundiales geodésicas. Las líneas del mundo no se mueven, y los objetos no se mueven por ellas. Para entender esto, utiliza una cámara de cine antigua para filmar una bola roja volando por una habitación. Luego revela la película y córtala en fotogramas individuales, y luego fórmalos en un bloque. Hay una raya roja a través del bloque. Eso es como una línea del mundo. Pero no hay nada que se mueva dentro o a través del bloque, nada en absoluto. El momento sería cuando la raya no fuera vertical porque la pelota se estuviera moviendo. Una raya curva representaría la aceleración o el cambio de impulso.

Answer 4

Las "líneas rectas" en el espacio curvo son geodésica . Pero las geodésicas que definen las trayectorias de las partículas están en el colector pseudo-riemanniano del espacio-tiempo, ¡no son geodésicas en el espacio!

Como el camino de los planetas no es cerrado en el espacio-tiempo (sino algún tipo de espiral), los cuerpos masivos no inducen bucles en la topología del espacio-tiempo. (En realidad, el bucle ni siquiera está cerrado en el espacio, debido al desplazamiento del perihelio).

El impulso se define en términos de tensor de energía-estrés que cumple la ley de conservación $$T^{\mu\nu}_{;\nu} = 0.$$ Como esto se reduce a la conservación clásica del momento y la energía localmente al tomar el límite que lleva a la mecánica newtoniana.

Además, si el espacio tiene un campo vectorial de Killing $\xi^\mu$ (que es una simetría continua), la cantidad $\xi^\mu x_\mu$ se conserva a lo largo de las geodésicas, y puede interpretarse como la componente del momento de la partícula a lo largo de la dirección del campo vectorial de Killing en el espacio-tiempo.