Encontrar el intervalo de convergencia uniforme para $\sin^2(tx)/x^2$

Question

Necesito encontrar el intervalo de convergencia uniforme de $$\int_0^\infty \frac{\sin^2(tx)}{x^2} \, dx .$$ Dividiendo la integral en $$\int_0^1\frac{\sin^2(tx)}{x^2} \, dx + \int_1^\infty \frac{\sin^2(tx)}{x^2} \, dx,$$ está claro que podemos aplicar la prueba de M-Weirstrass a la segunda integral, comparándola con $\frac{1}{x^2}$ . Pero, ¿cómo puedo calcular la primera? He intentado varios cambios de variables y nada funciona...

Answer 1

$$ \int_0^\infty \frac{\sin^2(tx)}{x^2} \, dx $$ En un comentario dices que quieres averiguar para qué valores de $t$ la integral converge. Pero usted empieza hablando de "convergencia uniforme". El término "convergencia uniforme" tiene una definición estándar, y no es esa en absoluto.

Lo has dividido en dos partes: $$ \int_0^1 \frac{\sin^2(tx)}{x^2} \,dx + \int_1^\infty \frac{\sin^2(tx)}{x^2} \,dx $$ Usted tiene $$ 0 \le \frac{\sin^2(tx)}{x^2} \le \frac 1 {x^2} \text{ and } \int_1^\infty \frac 1 {x^2}\,dx <+\infty, $$ para que "converja".

Con $\displaystyle\int_0^1 \frac{\sin^2(tx)}{x^2} \, dx,$ tienes $\displaystyle \frac{\sin^2(tx)}{x^2} = t^2\left( \frac{\sin(tx)}{tx} \right)^2 \to t^2 \text{ as } x\downarrow 0,$ por lo que se puede extender a una función continua en el intervalo cerrado $[0,1]$ haciéndolo igual a $t^2$ en $x=0.$ Así, se tiene la integral de una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado. Que converge independientemente del valor de $t.$

He puesto comillas alrededor de la palabra "converge" porque las formas en que podría definirse merecen ser examinadas. Un sentido es que una integral $\displaystyle\int_A g(x)\,dx$ "converge" si $\displaystyle\int_A|g(x)|\,dx<+\infty.$ Esto es válido en este caso. Otro sentido es que "converge" puede significar $\displaystyle\lim_{a\,\to\,+\infty} \int_0^a$ existe. En este caso, como la función que se integra es en todas partes no negativa y por tanto $\displaystyle\int_0^a$ es una función creciente de $a,$ esto se convierte en una mera cuestión de esa función de $a$ que está acotado, y eso también se cumple en este caso.

Así que la conclusión es que esta integral se comporta bien en cualquiera de los sentidos anteriores sin importar el número $t$ es.