Al leer sobre el problema de la clavija cuadrada Encontré este documento de Jerrard donde describió que para la espiral
$$r = k\theta \quad 2\pi \leq \theta \leq 4\pi $$
si unimos los puntos extremos, sólo se puede dibujar un cuadrado que todos sus puntos de esquina se encuentran en esta nueva curva cerrada. De hecho, señaló que "el cuadrado tiene un punto de esquina en el segmento de la línea recta, y no se encuentra totalmente en el interior".
El problema es que, en cierto modo, dijo que la espiral sola (curva abierta) no contiene ningún cuadrado inscrito. No he visto una prueba de esto en la literatura, así que la pregunta es:
¿Existe un cuadrado que todos sus puntos de esquina se encuentran en la espiral $$r = k\theta \quad 0 \leq \theta \leq \infty $$ ?
Actualización: Los usuarios han demostrado que es posible dibujar "cuasi"-cuadrados en la espiral. Esto apoya la idea de que debería existir un cuadrado y que una aproximación usando un sistema de ecuaciones y un teorema de punto fijo podría ser la solución. Me pregunto, ¿qué parámetros (coordenadas polares, parámetros @sirous) deben utilizarse para escribir las ecuaciones de las longitudes de los lados/diagonal de la manera más clara? ¡Vamos a intentarlo!
Dejemos que $A$ , $B$ , $C$ , $D$ los puntos de nuestro cuadrado deseado en la espiral y sin perder la generalidad, tomamos $k=1$ . Usando el teorema del coseno:
$$d_{A,B}^2=\theta_{A}^2+\theta_{B}^2-2\theta_{A}\theta_{B}\cos(\theta_{A}-\theta_{B})$$ $$d_{B,C}^2=\theta_{B}^2+\theta_{C}^2-2\theta_{B}\theta_{C}\cos(\theta_{B}-\theta_{C})$$ $$d_{C,D}^2=\theta_{C}^2+\theta_{D}^2-2\theta_{C}\theta_{D}\cos(\theta_{C}-\theta_{D})$$ $$d_{D,A}^2=\theta_{D}^2+\theta_{A}^2-2\theta_{D}\theta_{A}\cos(\theta_{D}-\theta_{A})$$
donde $\theta_{X}$ es el ángulo que define el punto $X$ en la espiral y $d_{center,X} = \theta_{X}$ por la ecuación polar de la espiral.
Esto da lugar a 3 ecuaciones independientes:
$$d_{A,B}^2=d_{B,C}^2$$ $$d_{B,C}^2=d_{C,D}^2$$ $$d_{C,D}^2=d_{D,A}^2$$
y hay que añadir un cuarto para discriminar entre un cuadrado y un rombo. Este podría ser un ángulo recto entre el segmento AB y CD o como dijo @Intelligenti pauca, 2 veces la longitud del lado al cuadrado debe ser igual a la longitud de la diagonal al cuadrado. $$2d_{A,B}^2=d_{A,C}^2$$
Esto debería dar 4 ecuaciones y 4 incógnitas ( $\theta_{A},\theta_{B},\theta_{C},\theta_{D}$ ), emocionante!, pero el sistema no es lineal, por lo que no podemos establecer si tiene solución a priori
PD: He creado esto Gráfico de Geogebra Para que puedas deslizar los puntos a lo largo de la espiral y probar nuevas ideas.
