Explicar el producto punto con las derivadas parciales en coordenadas polares

Question

Relacionado con la página 819 prob 4 de este libro . Estoy calculando incorrectamente el lado izquierdo (def. LHS), algún error de novato con la conmutatividad probablemente. ¿Ideas?

¿Errores?

1. Propongo $(\hat{e}_r\partial_r)\cdot (\hat{e}_r\partial_r)=\partial_r^2$ ¿se equivoca?

2. $(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta})\cdot (\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta})=\frac{1}{r^2}\partial_\theta^2$ ¿se equivoca?

LHS=?

$$(\hat{e}_{r}\partial_{r} + \frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}) \cdot (\hat{e}_{r}\partial_{r} + \frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}) =\partial_{r}\partial_{r}+\frac{1}{r^2}\partial_{\theta}\partial_{\theta}$$

El error está probablemente en la premisa sobre la conmutatividad, ¿podría alguien indicar qué es lo que va totalmente mal aquí?

Lado derecho=A+B

$$\partial_{r}(r\partial_{r})=1\partial_{r}+r\partial_{r}^2$$

así que

$$\begin{cases} A &=\frac{1}{r}\partial_{r}(r\partial_{r})=\frac{1}{r}\partial_{r}+\partial_{r}^2 \\ B &=\frac{1}{r^2}\partial_\theta^2.\end{cases}$$

Answer 1

La propia base es una función de $\theta$ .

Las ecuaciones 1 y 2 están bien, pero hay un término cruzado en el producto punto que te interesa.
Para resolverlo, primero hay que convencerse de que $$\begin{eqnarray} \partial_r \hat e_r &=& 0, \\ \partial_r \hat e_\theta &=& 0, \\ \partial_\theta \hat e_r &=& \hat e_\theta \\ \partial_\theta \hat e_\theta &=& -\hat e_r. \end{eqnarray}$$ El término cruzado proviene de $(\frac{1}{r} \hat e_\theta)\cdot [(\partial_\theta \hat e_r)\partial_r] = \frac{1}{r}\partial_r$ .

Veamos esto con más detalle. En primer lugar, observe que $\hat{e}_{r}\partial_{r} + \frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}$ es el operador del en coordenadas polares. Por lo tanto, usted está tratando de encontrar el Laplaciano en coordenadas polares.

Explicar la expresión $$\left(\hat{e}_{r}\partial_{r} + \frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}\right) \cdot \left(\hat{e}_{r}\partial_{r} + \frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}\right).$$ Encontrará cuatro términos, $$\begin{eqnarray} \left(\hat{e}_{r}\partial_{r}\right) \cdot \left(\hat{e}_{r}\partial_{r}\right) &=& \partial_r^2 \\ \left(\hat{e}_{r}\partial_{r}\right) \cdot \left( \frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}\right) &=& 0 \\ \left(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}\right) \cdot \left(\hat{e}_{r}\partial_{r}\right) &=& \frac{1}{r} \partial_r \\ \left(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}\right) \cdot \left(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}\right) &=& \frac{1}{r^2}\partial_\theta^2. \end{eqnarray}$$ Los términos primero y cuarto son los que usted ha reclamado. Pero hay una sutileza. Por ejemplo, $$\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta} \partial_{\theta}\right) \cdot \left(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta} \partial_{\theta}\right) &=& \left(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\right)\cdot \left( \frac{1}{r} \hat{e}_{\theta} \partial_{\theta}^2 + \frac{1}{r} (\partial_\theta \hat e_\theta) \partial_\theta \right) \\ &=& \left(\frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\right)\cdot \left( \frac{1}{r} \hat{e}_{\theta} \partial_{\theta}^2 - \frac{1}{r} \hat e_r \partial_\theta \right) \\ &=& \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2, \end{eqnarray}$$ desde $\hat e_\theta\cdot \hat e_r = 0$ . Observe que $$\partial_\theta (\hat{e}_{\theta} \partial_{\theta}) = \hat e_\theta \partial_\theta^2 + (\partial_\theta \hat e_\theta)\partial_\theta$$ por la regla de diferenciación del producto.

Siendo igualmente cuidadoso con los otros términos encontrará el resultado reclamado, $$\left(\hat{e}_{r}\partial_{r} + \frac{1}{r}\hat{e}_{\theta}\partial_{\theta}\right)^2 = \partial_r^2 + \frac{1}{r} \partial_r + \frac{1}{r^2} \partial_\theta^2.$$