simetría de la línea de regresión cuando SDx es igual a SDy y resultados no intuitivos

Question

Esta pregunta está tomada de Freedman

En una determinada clase, las calificaciones de los parciales tienen un promedio de $60$ con una DE de $15,$ al igual que las puntuaciones en la final. La correlación entre las puntuaciones de los parciales y las puntuaciones finales es de aproximadamente $0.50.$

Estimar la nota media final de los alumnos cuyas notas de los parciales fueron

(a) 75 b) 30 c) 60

La puntuación media estimada de los alumnos en la final que obtuvieron 30 en el parcial es

\begin{align} & \text{average} - r\cdot 2\text{sd} \\[8pt] = {} & 60 - 0.5\cdot2\cdot15 \\[8pt] = {} & 45 \end{align}

Pero la puntuación media estimada en los exámenes parciales que obtuvo 45 en la final no es de 30

\begin{align} & \text{average} - r\cdot1\cdot\text{sd} \\[8pt] = & 60-0.5\cdot1\cdot15 \\[8pt] = {} & 22.5 \end{align}

Esto es extraño. ¿Estoy haciendo mal el cálculo? Si no es así, ¿qué explica este extraño resultado?

Answer 1

Es de esperar, pero muchos lo han considerado paradójico.

Esta es una forma de verlo. Algunas personas que puntúan $2$ Los que están por debajo de la media en el examen parcial son realmente tan débiles, y algunos tienen un mal día y no son realmente tan débiles. Y algunos que puntúan $2$ Los SD por encima de la media en el examen parcial son así de fuertes, pero algunos lo hacen mejor de lo habitual. Y lo mismo en el final. Pero los que lo hacen peor de lo habitual en el examen final no son los mismos que lo hacen peor de lo habitual en el parcial, y los que lo hacen mejor de lo habitual en el examen final no son los mismos que lo hacen mejor de lo habitual en el parcial.

La media $y$ -para un determinado $x$ -viene dado por $y-60 = \dfrac 1 2 (x-60).$

La media $x$ -para un determinado $y$ -viene dado por $x-60 = \dfrac 1 2 (y-60).$

Se trata de dos líneas diferentes en el $(x,y)$ -Avión. Si esperabas que fueran la misma línea, considera primero lo que sucede si la correlación es $0.$ Entonces la media $y$ -para un determinado $x$ -viene dado por $y=60$ y la media $x$ -para un determinado $y$ -valor es $x=60.$ A continuación, consideremos qué ocurre si la correlación es $0.01.$ Se obtiene una línea de pendiente ligeramente superior a $0$ cuando se predice la media $y$ -para un determinado $x$ -valor y una línea de gran pendiente positiva cuando predice la media $x$ para un determinado $y$ -valor. A medida que la correlación crece, las dos líneas se acercan la una a la otra. Cuando la correlación es $1,$ y sólo entonces, ambas líneas son iguales.

Este es el fenómeno de la "regresión a la media", y de hecho es por eso que la regresión se llama regresión.