$L^1$ que satisface la condición extra es $L^p$ para $p\in[1,2)$ .

Question

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow [0,\infty)$ estar en $L^1([0,1])$ tal que para todo conjunto medible $E\subset [0,1]$ $$ \int_E f\leq \sqrt[2]{m(E)}$$ donde $m$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ .

a) Mostrar $f\in L^p([0,1])$ para todos $p\in[1,2)$

b) Proporcione un ejemplo para demostrar que a) falla cuando $p=2$

Acabo de empezar a aprender sobre $L^p$ espacios y me pregunto si la parte a) requiere conocimientos más avanzados. En este momento, no tengo ni idea de cómo empezar la parte a). Encontré que la función $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ con $f(0):=0$ da un contraejemplo para cuando $p=2$ . Se agradece la ayuda y/o los consejos para la parte a).

Answer 1

Dejemos que $S_c$ sea el conjunto $S_c= \{x | f(x) > c \}$ . Tenga en cuenta que $\int_{S_c} f \geq cm(S_c)$ . Tenemos entonces, por la hipótesis, que $\sqrt{m(S_c)} \geq cm(S_c)$ lo que implica que $m(S_c) \leq \frac{1}{c^2}$ . Del mismo modo, hay que tener en cuenta que $\{ x | (f(x))^p > c\} = S_{c^{1/p}}$ Por lo tanto $m(\{ x | (f(x))^p > c\}) \leq c^{-2/p}$ .

Por último, hay que tener en cuenta que $\int_{S_1} f^p = \int_1^\infty m(f^p > c) dc \leq \int_1^\infty c^{-2/p} dc$ lo que tiene sentido cuando $p<2$ pero para $p=2$ dará una contradicción, ya que la función $(4x)^{-0.5}$ espectáculos.