Bajo la acción del grupo, ¿podemos definir el estabilizador para un conjunto de puntos?

Question

Que un grupo $G$ actuar en un espacio $S$ . Si un punto $p$ en el espacio permanece invariante bajo la acción de un subgrupo de $G$ llamamos al subgrupo el estabilizador de $p$ .

$\text{Stab}(p) = \{g: g \in G, \, p\in S, \, g.p = p\}$

¿Puede extenderse la noción de estabilizador a un conjunto de puntos (digamos $P$ ) en el espacio en lugar de un solo punto? es decir, ¿podemos definir un subgrupo de la siguiente manera?

$\{g: g \in G, \, P\subset S, \, g.p_i = p_j \, \forall \, p_i, p_j \in P\}$

Si es así, ¿cómo se llama ese grupo?

Answer 1

Para un subconjunto $S'$ de $S$ , defina $Stab_1(S') = \bigcap_{p\in S'} Stab(p)$ que es el estabilizador puntual de $S'$ . Se trata de un subgrupo de $G$ ya que la intersección de subgrupos es a su vez un subgrupo.

Otro conjunto a tener en cuenta es $Stab_2(S') = \{g\in G\mid g\cdot S'\subseteq S'\}$ que estabiliza el subconjunto $S'$ . ¿Puedes comprobar si este conjunto es un subgrupo de $G$ ?