Marco Frenet en $\mathbb{R}^2$

Question

Mis preguntas son probablemente muy elementales, pero no he podido responderlas por mí mismo y no he encontrado la respuesta en Internet.

Dejemos que $\gamma$ ser un $C^2$ curva en $\mathbb{R}^2$ parametrizado por arclength, y que $\{T(s),N(s)\} $ sea el marco de frenet:

• ¿Por qué es cierto que $2\langle\dot{T}(s), T(s)\rangle = \frac{d}{ds} \langle T(s),T(s)\rangle$ ?
• ¿Qué hace $det[\gamma'(t),\gamma''(t)]$ ¿significa? No entiendo esta notación.

Answer 1

para la primera
Como dijo symple... Regla del producto $$ \frac{d}{ds}\langle T(s), T(s)\rangle = \langle T'(s), T(s)\rangle + \langle T(s), T'(s)\rangle = 2 \langle T'(s), T(s)\rangle $$

para el segundo
Cada uno de $\gamma'(t)$ y $\gamma''(t)$ es un $2$ -vector de dimensiones. Ponerlos juntos en un $2 \times 2$ matriz, y tomar el determinante de eso. Si este determinante es distinto de cero, entonces $\gamma'(t)$ y $\gamma''(t)$ no son paralelos ... Y entonces la unidad normal $N(s)$ se puede definir.