Dejemos que $$P_n:=\bigg\{p:[0,1]\rightarrow\mathbb R :deg(p)\le n\bigg\}$$
Y definir la norma $$\lVert p(t)\rVert=\max_{0\le k\le n}\lvert a_k\rvert \text{ where $ p(t)=a_nt^n+...+a_1t+a_0 $}$$
Definimos un operador lineal: $$T:P_n\longrightarrow P_n :$$ $$Tp(t)=\frac{d}{dt}p(t)$$ Encuentre el ||T|| norma.
Bien, mis pensamientos hasta ahora son: $$p'(t)=\color{black}{\underbrace{na_n}_{b_n}}t^{n-1}\color{black}{\underbrace{(n-1)a_{n-1}}_{b_{n-1}}}t^{n-2}+...+\color{black}{\underbrace{1\cdot a_1}_{b_1}}+\color{black}{\underbrace{0\cdot a_0}_{b_0}}$$ $$\text{Hence}:b_k=k\cdot a_k,k=0,1,2,...,n$$ $$\text{So: } \lVert Tp(t)\rVert=\lVert p'(t)\rVert=\max_{0\le k\le n}\lvert b_k\rvert=\max_{0\le k\le n}\lvert ka_k\rvert\le n\max_{0\le k\le n}\lvert a_k\rvert$$ $$=n\lVert p\rVert $$ $$\text{Thus, }\quad \bbox[3px,border:2px solid red] {\lVert Tp\rVert \le n\lVert p\rVert } \qquad (1)$$ $$\text{Let }p_0(t)=1\cdot t^n\Rightarrow\lVert p_0\rVert =1$$ $$\text{By the definition of the norm we get :}$$ $$\lVert T\rVert =\sup_{\lVert p\rVert=1}\lVert Tp\rVert\ge \lVert Tp_0\rVert=\lVert p_0'\rVert=\lVert n\cdot t^{n-1}\rVert=n\quad (2)$$ $$\text{Hence : by (1),(2) it implies that : }\lVert T\rVert=n. $$
¿Qué opinas de eso?
Gracias.
