teorema fundamental de los grupos abelianos ? Herstein

Question

Estaba leyendo Teorema fundamental de los grupos abelianos en Herstein Segunda Edición (pg 110), se menciona $b_2^{p^{n_2}} \in A_1$ y es la primera potencia de $b_2$ para caer en $A_1.$ No he podido seguir esto, ¿podría alguien sugerir por qué sucede así?

3er párrafo, 7ª línea

Answer 1

El elemento $b_2$ es tal que su imagen $\overline{b_2}=b_2+A_1$ en $G/A_1$ tiene un orden máximo $p^{n_2}$ es decir, ninguno de los elementos de $G/A_1$ tiene un orden más que $p^{n_2}$ . Así que $(\overline{b_2})^{p^{n_2}}=A_1$ (elemento de identidad de $G/A_1$ ) $\Rightarrow b_2^{p^{n_2}}+A_1= A_1\Rightarrow b_2^{p^{n_2}}\in A_1$ . Además, para cualquier número $k$ con $k<p^{n_2}$ , $b_2^k\notin A_1$ porque de lo contrario $(\overline{b_2})^k=b_2^k+A_1=A_1$ lo que contradice que $\overline{b_2}$ era un elemento de orden $p^{n_2}$ en $G/A_1$ .