Ejemplo 3: Trazar el campo vectorial del gradiente para $f(x,y) = x^2 + y^2$ así como varios contornos para esta función.
El gradiente del campo vectorial es $$ \nabla f(x,y)=2x\vec{i}+2y\vec{j}. $$
Pero cuando trazo esas 2 funciones, obtengo un campo vectorial que no tiene sentido.
¿Qué me dicen los vectores del gradiente (los morados) sobre la función?
Te dan información sobre el conjuntos de niveles que son en todas partes ortogonales al gradiente. Los conjuntos de niveles son el resultado de seccionar la superficie con planos horizontales y el resultado es exactamente lo que se ve en un mapa topográfico . Cuanto más largo sea el vector de gradiente, más rápido crecerá la altura en esa dirección (es decir, mayor será la pendiente).
En tu ejemplo el campo de gradiente es radial, por lo que sabes que los conjuntos de niveles son circunferencias, y como es linealmente creciente, también lo es la pendiente (lo que resulta en un crecimiento cuadrático de la altura).
Piensa en un río que fluye por una colina y que finalmente llega al mar. Es evidente que siempre sigue el camino con mayor pendiente, que es el que señala la pendiente (pero en sentido contrario, ya que el agua fluye hacia abajo). Si ves un mapa topográfico de la colina, es decir, si conoces los conjuntos de niveles de su superficie, el río fluye ortogonalmente a esas curvas, piénsalo: cuando llega al mar fluye hacia él ortogonalmente respecto a la línea de costa, que efectivamente es el nivel $0$ conjunto.
Fijar $\ell\in\mathbb R$ entonces el $\ell$ -conjunto de niveles de la función $f(x,y)$ es el subconjunto del dominio de $f$ donde $f$ tiene valor $\ell$ . En pocas palabras, es la preimagen $f^{-1}\big(\{\ell\}\big)$ es decir $$ \big\{(x,y):~f(x,y)=\ell\big\} $$ Si $f$ es suave, entonces sus conjuntos de niveles están vacíos o son uniones disjuntas de curvas suaves y/o puntos simples. Si $f(x,y)=x^2+y^2$ como en su caso, entonces el $\ell$ -el conjunto de niveles es \begin{align} U_\ell = ~& \big\{(x,y):~x^2+y^2=\ell\big\} \\ = ~& \begin{cases} \text{circumference with radius $\sqrt l$ centered in } (0,0) & \text{if } \ell>0 \\ \text{single point } \{(0,0)\} & \text{if } \ell =0 \\ \emptyset & \text{if } \ell<0 \end{cases} \end{align}
Las siguientes imágenes pueden ayudarle a entender el concepto:
Aquí hay una función más o menos como la suya. En el dominio los conjuntos de niveles son cerrados y se reducen a un único punto en el origen. Como es de esperar en un mapa topográfico, eso indica que ese punto es un máximo local (la cima de una montaña) o un mínimo local (es decir, el fondo de un lago, suponiendo que sea un punto aislado).
No es necesario conocer la geometría exacta de los conjuntos de niveles, pero estudiando por separado el (signo de las) derivadas parciales $f_x$ y $f_y$ se puede averiguar hacia dónde apunta el gradiente y deducir cómo se comportan los conjuntos de niveles utilizando el hecho de que son ortogonales al gradiente (véase el $F$ en la imagen, que representa claramente el vector del gradiente).
Ahora echa un vistazo a esto:
Los conjuntos de niveles muestran que hay una punto de apoyo De hecho, no lo rodean, sino que más bien "divergen".
Espero que esto te ayude a entender el significado de los conjuntos de niveles y cómo se relaciona el campo de gradientes.
Yo diría que la forma más fácil de pensar en los vectores de gradiente es darse cuenta de que señalan la dirección que da el mayor incremento momentáneo de la función objetivo.
Para una función $g(x)$ entonces la derivada $g'(x)$ le dirá en qué dirección moverse a lo largo del $x$ -eje para que $g(x)$ para aumentar. Piénsalo: Si la derivada es positiva, se incrementa el valor de la función moviéndose en la dirección positiva a lo largo de la $x$ -eje, y si la derivada es negativa se aumenta el valor de la función moviéndose en la dirección negativa.
Como en ese caso sólo hay una variable (es decir, una dimensión), sólo hay dos direcciones de movimiento.
Pero con dos variables, como en $f(x,y)=x^2+y^2$ En la actualidad, hay dos dimensiones y, de repente, hay una gran cantidad de direcciones de movimiento posibles. Pero el gradiente (derivado si se quiere) sigue indicando en qué dirección hay que moverse para conseguir el mayor incremento.
En su parcela, ya que $f(x,y)=x^2+y^2$ es mayor cuanto más se aleja del origen, los vectores del gradiente apuntan todos hacia fuera del origen. Y su longitud es proporcional a la tasa de incremento momentáneo cuando se mueve en esa dirección.
Si pensamos en el valor de la función objetivo como una altura en un paisaje tridimensional, el vector de gradiente de un punto nos indica en qué dirección la pendiente es mayor en ese punto. Esto nos lleva al concepto de conjuntos de niveles que describió AndreasT, porque ortogonalmente a la dirección más pronunciada la superficie es localmente plana.
No es una descripción muy estricta, pero espero que ayude. :) Además, como se menciona en los comentarios, los vectores azules no parecen estar relacionados con tu pregunta real.
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