Algunas preguntas sobre una versión de la O ' modelo Raifeartaigh

Question

Este formulario es tomado de una charla de Seiberg a la que me estaba escuchando,

Tomar el Kahler potencial ($K$) y la supersimétricas potencial ($W$) como,

$K = \vert X\vert ^2 + \vert \phi _1 \vert ^2 + \vert \phi_2\vert ^2 $

$W = fX + m\phi_1 \phi_2 + \frac{h}{2}X\phi_1 ^2 $

• Esta notación se ve un poco confuso para mí. Son los campos de $X$, $\phi_1$ y $\phi_2$ real o complejo? La forma de $K$ parece sugerir que son complejos - desde que yo estaría inclinado a leer$\vert \psi \vert ^2$$\psi ^* \psi$ -, pero, a continuación, la forma de $W$ parece engañoso, parece que $W$ puede ser compleja. Es que está bien?

Ahora se ve en el potencial de $V$ define como $V = \frac{\partial ^2 K}{\partial \psi_m \partial \psi_n} \left ( \frac {\partial W}{\partial \psi_m} \right )^* \frac {\partial W}{\partial \psi_n}$

(..donde $\psi_n$ $\psi_m$ sumas de todos los campos de la teoría..)

Para este caso se da, $V = \vert \frac{h}{2}\phi_1^2 + f\vert ^2 + \vert m\phi_1 \vert ^2 + \vert hX\phi_1 + m\phi_2 \vert ^2 $

• A pesar de que para el último término de Seiberg parecía tener un signo " - " $\vert hX\phi_1 - m\phi_2 \vert ^2 $ - que yo no podía entender.

Creo que el primer punto que estaba haciendo es que está claramente en la expresión anterior para $V$ que no puede ir a $0$ cualquier lugar y, por tanto, la supersimetría no es roto en cualquier valor de los campos.

• Me gustaría saber de alguna discusión de por qué esta función en particular, $V$ es importante para el análisis - después de todo este es uno entre varios de los términos que aparecen en el Lagrangiano con este Kahler potencial y la supersimetría potencial.

• Parecía decir que si * ` $\phi_1$ $\phi_2$ están integrados a cabo, a continuación, en términos de la masa de campo $X$ el potencial es sólo $f^2$"* - yo estaría encantado si alguien puede elaborar el cálculo que se está refiriendo él - me gustaría pensar ingenuamente que en el límite de $h$ $m$ ir $0$ el potencial es, al igual que $f^2$.

• Con referencia al caso anterior, cuando el potencial es sólo $f^2$ parecía estar refiriéndose al caso en el $\phi_2 = -\frac{hX\phi_1}{m}$. No pude obtener el significado de esto. Las ecuaciones de movimiento a partir de esta $V$ son claramente mucho más complicado.

• Dijo que se puede trabajar con el espectro de la teoría de campo por "diagonalizing las pequeñas fluctuaciones" - ¿qué quiso decir? Era el significado de la caída de todos los términos cúbicos o más en los campos de $\phi_1, \phi_2, X$ ? En esta ¿cuál sería la masa de la matriz" se define como?

La confusión surge debido a las dudas iniciales sobre si los campos son reales o complejos. Parece que $V$ tienen términos como $\phi^*\phi^*$ $\phi \phi$ y también un término constante $f^2$ - estas características se me confunde en cuanto a lo que diagonalizing significa.

Normalmente con complejo de campos de decir $\psi_i$ la "masa de la matriz" se define el $M$ en los términos de $\psi_i ^* M_{ij}\psi_j$, Pero aquí yo puedo ver que la estructura!

• El punto que quería hacer es que una vez que la masa de la matriz es diagonalized tendrá el mismo número de bosonic y fermionic masas y también la super-seguimiento de su plaza será $0$ - no veo de donde se fermionic masas venir aquí!

• Si la masa de la matriz es $M$ parece afirmar - casi por arte de magia fuera de la parte superior de su sombrero! - que el 1 de bucle de una acción eficaz es $\frac{1}{64\pi^2} STr \left ( M^4 log \frac{M^2}{M_{cut_off}^2} \right ) $ - él parecía estar diciendo que se desprende de algo más, y él no necesita hacer ningún bucle de cálculo para que!

Yo estaría encantado si alguien puede ayudar con estos.

Answer 1

Hay un montón de preguntas aquí! Creo que puedo responder por lo menos a algunos...

• Primero de todos, usted es consciente de que los campos de $W$ $K$ son superfields? Estos contienen toda la supermultiplet, por lo que deben ser complejo en general. Esta es una entrada corta, pero los enlaces a otros: http://en.wikipedia.org/wiki/Superfield
• Como se ha mencionado por José en su comentario, el superpotenciales es sólo un holomorphic función. Recuerde que el superpotenciales es, en cierto sentido no físico; sólo se muestra en el Lagrangiano - la física real de la teoría - a través de cosas como $\frac{\partial W}{\partial \phi_m}^* \frac{\partial W}{\partial \phi_n}$ en su ejemplo. Es esto lo que debe ser real, no $W$ sí, y lo serán. No estoy seguro de por qué usted dice que no sería términos como $\phi^*\phi^*$... Todo es mod-cuadrado en ese $V$, por lo que debe ser real.
• Estoy de acuerdo con el Zohar que el signo menos es probablemente un "error tipográfico" en Seiberg parte. Mi primer pensamiento cuando me desnatada en su pregunta, fue la $SU(2)$ de contracción con un $\epsilon_{\alpha\beta}$, debido a que uno obtiene términos que parece que todo el tiempo, pero después de leerlo, creo que no es el caso aquí.
• Para entender el supertrace en el potencial efectivo, ver http://arxiv.org/pdf/hep-ph/0111209v2.pdf por S. Martin. Eq. 1.2 es exactamente lo que Seiberg escribió, pero con la supertrace escrito explícitamente con la $(-1)^{2s_n}(2s+1)$ prefactor. Para entender por qué el bucle potencial efectivo se parece a $\text{STr}\left(M^4 \text{log}\frac{M^2}{M_{\text{cutoff}}^2}\right)$, considerar un par de cosas.
• En primer lugar, la cosa dentro de la supertrace sólo se ve como algo que se conseguiría haciendo un bucle integral para el campo, excepto que aquí $M$ es una matriz. Segundo, el prefactor se ocupa de lo que se obtiene debido a la multiplicidad de las partículas y el signo negativo asociado con el fermión de bucles.

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Pero digamos que no creo que esta expresión y calcular todo de forma explícita. Nos gustaría diagonalize la masa de la matriz, por lo tanto encontrar la masa de autovalores $m_i$ y, a continuación, nos gustaría poner cada uno de ellos uno a la vez en un bucle en el diagrama y calcular básicamente $\Sigma_i m_i^4 \text{log}\frac{m_i^2}{M_{\text{cutoff}}^2}$.

Pero aviso que si nos diagonalize $M$ a, digamos, $M'$, $M'$ $m_i$ a lo largo de su diagonal. Entonces claramente

$\Sigma_i \text{log}\frac{m_i^2}{M_{\text{cutoff}}^2}=\text{Tr}(\text{log}\frac{M'^2}{M_{\text{cutoff}}^2})$.

Además,

$\text{Tr}(\text{log}\frac{M'^2}{M_{\text{cutoff}}^2})= \text{log}(\text{Det}\frac{M'^2}{M_{\text{cutoff}}^2})$.

Esto se deduce porque $M'$ es diagonal, por lo que, obviamente, $\text{Det}(M'^2)=\Pi_i m_i^2$ y por lo tanto

$\text{log}(\text{Det}(M'^2))=\text{log}(\Pi_i m_i^2)=\Sigma_i log (m_i^2)=\text{Tr}(\text{log}(M'^2))$.

Ahora, si nos diagonalized con algunos matriz $U$, luego

$\text{Tr}(\text{log}\frac{M'^2}{M_{\text{cutoff}}^2})= \text{log}(\text{Det}\frac{M'^2}{M_{\text{cutoff}}^2}) = \text{log}(\text{Det}\frac{(UMU^\dagger)^2}{M_{\text{cutoff}}^2})$,

y desde $U$ es unitaria, $\text{Det}(UMU^\dagger)=\text{Det}(M)$. Por lo tanto,

$\text{Tr}(\text{log}\frac{M'^2}{M_{\text{cutoff}}^2})= \text{log}(\text{Det}\frac{M^2}{M_{\text{cutoff}}^2})=\text{Tr}(\text{log}\frac{M^2}{M_{\text{cutoff}}^2})$.

Pero desde arriba

$\text{Tr}(\text{log}\frac{M'^2}{M_{\text{cutoff}}^2})=\Sigma_i \text{log}\frac{m_i^2}{M_{\text{cutoff}}^2}$.

Así

$\text{Tr}(\text{log}\frac{M^2}{M_{\text{cutoff}}^2})=\Sigma_i \text{log}\frac{m_i^2}{M_{\text{cutoff}}^2}$.

El punto de todo esto es para mostrar que usted puede ahorrar un montón de tiempo en el cálculo del potencial efectivo mediante el uso de la expresión a la izquierda en lugar de calcular cada término de forma individual.

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• Se preguntan dónde fermión masas vendrá de. Que siga debido a que los campos en $W$ $K$ son superfields.
• Zohar ya mencionados de la masa matrices coincidiendo si $f=0$. Sólo añadiré que saber si SUSY se ha roto el superpartners tienen la misma masa. Viendo que el prefactor de Martin eq. (1.2) que he citado anteriormente debe dejar claro cómo, a continuación, sus contribuciones a la supertrace cancelar. Los escalares son spin cero, mientras que los fermiones son spin 1/2 y tiene un pariente signo menos. Hay el doble de escalares, pero los fermiones de obtener un factor de 2 en el prefactor de la supertrace. Por lo tanto se anulan.
• La "integración" no es lo mismo que $m\rightarrow 0$, aunque en este caso creo que todavía le dio la idea de derecho. Generalmente cuando la gente habla de la integración, esto significa que integrar a cabo de alto impulso modos, dando algunas efectivo teoría válida hasta el $M_{cutoff}$, por encima del cual las cosas están integrados, y/o sustitución de particular diagramas de Feynmann con efectivo vértices, tal como cuando la gente habla de un gluon-gluon-Higgs eficaz de acoplamiento, que realmente se lleva a cabo a través de un bucle involucra a otras partículas, en particular el (bastante pesada) quark top. Los campos que tienen masas por encima de la frecuencia de corte ya no aparecen como campos en la eficacia de la teoría, pero en lugar de dar efectiva de los operadores en el Lagrangiano efectivo o vértices en las reglas de Feynman. http://en.wikipedia.org/wiki/Effective_field_theory podría ser útil.
• Es difícil, rayana en lo imposible, para adivinar acerca de la importancia de la $\phi_2=-\frac{hX\phi_1}{m}$ sin más contexto. Un valor tal, evidentemente, hace que el último término en la $V$ has escrito desaparecer, pero ¿por qué eso es un gran problema, no puedo decir. Tengo la sensación de que él estaba tratando de decir algo acerca de cuando un valor distinto de cero vevs rompería SUSY, pero realmente no tengo contexto aquí.