Verdadero/Falso: Si el Wronskiano de n funciones desaparece en todos los puntos de la recta real entonces estas funciones deben ser linealmente dependientes en R.

Question

Sé que si un conjunto de funciones son linealmente dependientes, entonces su Wronskian = 0 en todos los valores de t en el intervalo.

Entonces, ¿puedes concluir que si el Wronskian = 0 para todos los valores de t en el intervalo, entonces las funciones deben ser dependientes?

Answer 1

La respuesta es no. Por ejemplo, las funciones $f_1(x) = x^2$ y $f_2(x) = x \cdot |x|$ son continuas con derivadas continuas, tienen un Wronskian que desaparece en todas partes, pero no son linealmente dependientes.

El Página de Wikipedia de Wronskian tiene una buena discusión sobre esto. Obsérvese que si el conjunto de funciones consideradas es analítico, entonces su dependencia sobre un intervalo es efectivamente equivalente a que tengan un Wronskian que sea idénticamente cero.

Answer 2

La otra dirección no se sostiene. Un contraejemplo viene dado por las funciones $f_1,f_2:\Bbb R\to \Bbb R$ definido por \begin{align*} f_1(t)=\begin{cases} 0, &t\leq0\\ t^2, &t>0 \end{cases} ,\qquad f_2(t)= \begin{cases} t^2, &t\leq0\\ 0, &t>0 \end{cases} . \Fin El Wronkian es cero en cada $t\in\Bbb R$ pero las funciones son linealmente independientes. En efecto, si $c_1f_1(t)+c_2f_2(t)=0$ para algunas constantes $c_j\in\Bbb R$ y todos $t\in\Bbb R$ tenemos \begin{align*} c_1&=c_1f_1(1)+c_2f_2(1)=0,\\ c_2&=c_1f_1(-1)+c_2f_2(-1)=0. \end{align*}

Answer 3

La respuesta es no porque, por ejemplo, las funciones \begin{equation} \begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} f(x)=0 \text { for } x<0 \\ f(x)=x^{2} \text { for } x \geqslant 0 \end{array} \derecha. &\a la izquierda &\a la derecha. \begin{array}{l} g(x)=0 \text { for } x>0 \\ g(x)=x^{2} \text { for } x \leq 0 \end{array} \derecha. \Fin \N - fin{ecuación} Las funciones tienen 0 determinante wronksiano pero aparentemente son linealmente independientes.