Dado que $5n$ es un cuadrado y $75np$ es un cubo, ¿por qué el valor más pequeño posible de $n+p$ igual a $14$ ?

Question

No puedo resolver este problema:

Supongamos que $n$ y $p$ son enteros mayores que $1$ , $5n$ es el cuadrado de un número, y $75np$ es el cubo de un número. ¿Cuál es el valor más pequeño para $n+p$ ?

(La respuesta dada es $14$ )

Ni siquiera entiendo si $5n$ es el cuadrado del mismo número que tiene un cubo de $75np$ . ¿Alguna sugerencia? ¿Cómo podría resolver este problema?

Answer 1

$5n$ es un cuadrado implica que $5n = 5^2 \times a^2$ . Esto nos da que $n = 5a^2$ , donde $a \in \mathbb{Z}$ .

De la misma manera, $75np$ es un cubo implica que $75np = 3^3 5^3 b^3 \implies np = 3^2 5 b^3$ , donde $b \in \mathbb{Z}$ .

¿Puede concluir ahora lo que $a$ y $b$ debe ser para $n+p$ ¿es un mínimo?

Answer 2

• $5n$ es el cuadrado de un número, por lo que $n=5k$ ( $k \in \mathbb N$ ).
• $75np=25n \cdot 3p=5^3k \cdot 3p $ es el cubo de un número cuando $n=5k$ Así que $p=9k'$ ( $k' \in \mathbb N$ ).

El valor más pequeño de $n+p$ es cuando $k =k'=1$ .

Answer 3

Se le da eso $5n$ es un número cuadrado. Si es cuadrado, cada uno de sus factores primos debe ser a una potencia par. Esto significa que $n$ debe ser divisible por $5$ .

Ahora se le da eso $75np$ es un cubo. Si es un cubo, cada uno de sus factores primos debe ser a una potencia que sea múltiplo de $3$ . ¿Puedes terminar el argumento desde aquí?