Resolver $f(x)f(y)= 8$ y $g(x)g(y)=4$ , donde $f(x) = a^x + a^{-x}$ y $g(x) = a^x - a^{-x}$

Question

Hay dos funciones reales $f$ y $g$ para $ x, y> 0, a >1$ tal que $f(x) = a^x + a^{-x}$ y $g(x) = a^x - a^{-x}$ .

Encuentre el $x$ Satisfaciendo a $f(x)f(y)= 8$ y $g(x)g(y)=4$ .

He probado esto poniendo el $X$ y $Y$ como en lugar del $ a^x$ y $a^y$ respectivamente. Pero el proceso de cálculo es realmente complicado. ¿Hay alguna manera eficiente?

Gracias.

Answer 1

Obtendrá el sistema $$a^{x+y}+\frac{1}{a^{x+y}}+a^{x-y}+\frac{1}{a^{x-y}}=8$$ y $$a^{x+y}+\frac{1}{a^{x+y}}-a^{x-y}-\frac{1}{a^{x-y}}=4$$ Ahora sustitúyelo. Por intstancia $$u+\frac{1}{u}+v+\frac{1}{v}=8$$ $$u+\frac{1}{u}-\left(v+\frac{1}{v}\right)=4$$

Answer 2

Gracias Speacial por el Mark bennet.

Answer 3

Observe que

$$f(x)=2\cosh(x\log a),\\g(x)=2\sinh(x\log a).$$

Entonces

$$f(x)f(y)-g(x)g(y)=4\cosh((x-y)\log a)=4$$

para que $$x=y.$$

También

$$f(x)f(y)+g(x)g(y)=4\cosh((x+y)\log a)=12$$ para que

$$x=y=\frac{\text{arcosh }3}{2\log a}=\log_a\sqrt{3+2\sqrt2}=\log_a(1+\sqrt2).$$