Si en $\triangle ABC$ , $r=1$ , $R=3$ y $s=5$ , entonces encuentra el valor de $a^2+b^2+c^2$
(donde $r$ =inradio, $R$ =circunradio y $s$ =semi-perímetro)
La respuesta dada es $24$
$a+b+c=10$ .
Dejemos que $S$ sea un área del triángulo.
Así, $$\frac{2S}{a+b+c}=1,$$ que da $$S=5$$ o $$\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}=5$$ o $$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=40.$$ Ahora, por AM-GM $$40=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq\left(\frac{a+b-c+a+c-b+b+c-a}{3}\right)^3=\frac{1000}{27},$$ que es imposible.
Por lo tanto, este triángulo no existe.
Usted sabe que $$r=\frac{Δ}{s}$$ Por lo tanto, obtenemos $$Δ=5$$ También $$R=\frac{abc}{4Δ} $$ De esto obtenemos $$ abc=60$$
También tenemos una fórmula que
$$\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}=\frac{r}{R}$$ Por lo tanto, al sustituir los valores obtenemos $$(5-a)(5-b)(5-c)=5$$ Lo que se reduce a $$125-50s+5\sum_{cyc} ab -abc = 5$$ Reduciendo aún más obtenemos $$\sum_{cyc} ab=38$$ Ahora $${(\frac{a+b+c}{2})}^2=s^2$$ $$\frac{a^2+b^2+c^2+2\sum ab}{4}=25$$ $$a^2+b^2+c^2=100-76=24$$ Por lo tanto, $\sum a^2 =24$
(cc'ing @Maverick) Lo anterior da $a+b+c=10\,$ , $ab+bc+ca=38\,$ , $abc = 60\,$ . Por lo tanto $\,a,b,c\,$ deben ser las raíces de la cúbica $\,t^3-10t^2+38t-60=0\,$ . Pero esa cúbica tiene una sola raíz real, por lo tanto no tiene ninguna raíz real. $\,a,b,c\,$ satisfacen las condiciones dadas, por lo que el triángulo $\,\triangle ABC\,$ de hecho no existe (como señala la respuesta de Michael Rozenberg utilizando un argumento diferente).
Yo también estoy de acuerdo con la respuesta de Michael Rozenberg, pero esta pregunta parece formada sólo desde el punto de vista de la utilización de las fórmulas en el punto correcto para resolver preguntas basadas en círculos y triángulos con un puñado de álgebra.
Intentaré hacer una aproximación paso a paso. Puede consultar este para una de las fórmulas. Por lo tanto, el área del triángulo sería $1 * 5 = 5$ . Utilizando otra fórmula aquí , $$R = abc/4rs$$ . Por lo tanto, $$3 = \frac{abc}{20}$$ Así que $abc = 60$ . Desde $s= 5$ , perímetro $$a + b + c$$ = 10.
Lo tenemos:
$$abc = 60.$$ Y $$a + b + c = 10$$
$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$$ .
En consecuencia, utilizando la fórmula de Heron, tenemos $$5^2= 5(5-a)(5-b)(5-c)$$ , por lo que obtenemos $$(5-a)(5-b)(5-c) = 5$$ . Tenemos $$125 - 25a - 25b - 25c + 5ab + 5ac + 5bc -abc = 5$$ . Sustituyendo 1 y 2, tenemos $$125 - 250 + 5(ab + ac + bc) - 60 = 5$$ . Esto significa que $$ab + ac + bc = 38$$ . Sustituya esto en $$(a + b + c)^2= a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$$ obtenemos $$100 = a^2 + b^2 + c^2 + 2*38$$ . Por lo tanto, $$a^2 + b^2 + c^2 = 100 - 76 = 24$$ .
Nota: Cualquier usuario útil por favor ayúdeme a formatear mi código para que parezca ecuaciones simultáneas. Gracias.
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