Límites que adoptan un rango en lugar de un valor único

Question

Me he encontrado con dos límites que, según los informes, adoptan un rango de valores en lugar de uno único.

Lo son:

$$\lim \limits_{x \to \infty} \space\frac{1+\cos x}{1-\sin x} = 0 \space to\space \infty$$

$$\lim \limits_{x \to \infty} \space \frac{2+2x+\sin(2x)}{(2x+\sin(2x))e^{\sin x}} = \frac{1}{e} \space to \space e$$

Estas respuestas parecen contradecir lo que conozco y entiendo como la definición de un límite. Estoy estudiando matemáticas por mi cuenta, así que está claro que se me escapa algo.

Mis preguntas:

1. ¿Cómo se resuelven estos límites?
2. ¿Por qué existen? ¿Por qué se permite un rango de valores aquí?
3. ¿Qué tipo de libros debería leer para aprender más sobre esto? Si pudiera proporcionar referencias sería perfecto.

Resultados de ETA de Wolfram:

La primera) La segunda)

Answer 1

En el sentido habitual (y definición común), estos límites no (ya que, en términos generales, los valores de la función no se acercan arbitrariamente a un valor específico para valores suficientemente grandes de $x$ ).

Para un ejemplo más sencillo, considere: $$\lim_{x \to +\infty} \sin x$$ El hecho de que $\sin x$ sigue tomando (todos) los valores en el intervalo $[-1,1]$ incluso para valores grandes y arbitrarios de $x$ puede utilizarse como argumento contra la existencia de este límite.

Por supuesto, decir que $\sin x$ sigue tomando valores en $[-1,1]$ contiene más información que decir simplemente "el límite no existe", por lo que puede ser útil considerar (y determinar) este rango, aunque yo nunca diría "el límite es [un rango]".

Answer 2

Los límites definitivamente no existen para estas expresiones. No dejes que ningún recurso de la web te convenza de lo contrario. Sin embargo, dicho esto, el límites inferior y superior puede existir. Entonces, una interpretación más precisa de su primer "límite" es: $$ \liminf_{x\to\infty}\frac{1+\cos(x)}{1-\sin(x)} = \lim_{x\to\infty}\inf_{t \ge x}\frac{1+\cos(t)}{1-\sin(t)} = 0 \text{ (as } \cos(t)=-1 \text{ infinitely often above any } x \text{)} $$ y $$ \limsup_{x\to\infty}\frac{1+\cos(x)}{1-\sin(x)} = \lim_{x\to\infty}\sup_{t \ge x}\frac{1+\cos(t)}{1-\sin(t)} = \infty \text{ (as } \sin(t)=1 \text{ infinitely often above any } x \text{)} $$

Por eso, los recursos de la web afirman que el "límite existe como un rango de valores entre cero e infinito"

Answer 3

Tomar el primer límite, por ejemplo, significa que se puede encontrar una secuencia creciente (porque $x$ va a $\infty$ En general, la secuencia no necesita ser creciente, sino que debe converger a lo que $x$ tiende a). $x_n$ para cualquier valor de $L\in[0,\infty]$ para que $$\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos x_n}{1-\sin x_n}=L$$ El límite no existe pero en ciertos escenarios es bueno saber cuáles son los valores posibles en caso de que se busque una secuencia particular de $x$ 's, por ejemplo $$\lim_{x\to \infty}x-\lfloor x\rfloor$$ Puede ser cualquier cosa, desde $0$ a $1$ pero si sólo te interesan los números enteros entonces el límite converge a $0$ .