¿Cuándo una matriz de Markov es unitariamente diagonalizable?

Question

Mi opinión es que una matriz de Markov (es decir, $M \in M_n([0,1])$ y filas de $M$ suma a $1$ ) es unitariamente diagonalizable si $M$ es doblemente estocástico (es decir, las columnas de $M$ también suman a $1$ ).

Según el teorema espectral, una matriz es unitariamente diagonalizable si es normal, así que en eso se basa mi intento de demostración:

$(\Rightarrow)$ Representar la propiedad de la suma de filas de la matriz de Markov como $M1 = 1$ , donde $1$ es un vector de todos los $1$ s. Si $M$ es normal, entonces $$MM^* = M^*M \,.$$ Antes y después de multiplicar por $1$ obtenemos $$1^*MM^*1 = 1^*M^*M1 \,,$$ y simplificando se obtiene $$(M^*1)^*(M^*1) = (M1)^*(M1) = 1^*1 \,.$$

Pregunta 1: ¿Implica esto que $M^*1 = 1$ (y por lo tanto $M$ es doblemente estocástico)? Sé que esto no se cumple en general (por ejemplo, si $M$ es una matriz de rotación, entonces esto es falso), pero ¿es esto cierto para las matrices de Markov?

$(\Leftarrow)$ Supongamos que $M$ es doblemente estocástico. Entonces, $$(M^*1)^*(M^*1) = (M1)^*(M1)\,,$$ que se simplifica en $$1^*MM^*1 = 1^*M^*M1 \,.$$ Pregunta 2: ¿Implica esto que $MM^* = M^*M$ ? No sé si puedo "dividir" el $1$ vectores.

Answer 1

Como señalo en mi comentario, no es cierto que las matrices doblemente estocásticas sean necesariamente normales. Como contraejemplo, la matriz $$ M = \pmatrix{0 & 1 & 0\\1/2 & 0 & 1/2\\1/2 & 0 & 1/2} $$ es doblemente estocástico, pero no normal.

Es cierto que las matrices de Markov normales son necesariamente doblemente estocásticas. Una prueba es la siguiente. Supongamos que $M$ es Markov y normal. Como ha observado, tenemos $M1 = 1$ . Tenga en cuenta que debido a que $M$ es normal, la matriz $M - I$ también es normal. Además, nótese que para todas las matrices $A$ tenemos $Ax = 0 \implies A^*Ax = 0$ y $$ A^*Ax = 0 \implies x^*A^*Ax = 0 \implies \|Ax\|^2 = 0 \implies Ax = 0, $$ es decir, que $\ker(A) = \ker(A^*A)$ . Con eso, $$ M1 = 1 \implies\\ (M - I)1 = 0 \implies \\ (M-I)^*(M-I)1 = 0 \implies\\ (M-I)(M-I)^*1 = 0 \implies\\ (M - I)^*1 = 0 \implies\\ M^*1 = 1. $$ Así, las columnas de $M$ suma a $1$ .