Demostrando que una secuencia de funciones analíticas converge localmente de manera uniforme

Question

Dejemos que $f_n :U \to \mathbb{C}$ sea una secuencia de funciones analíticas sobre un conjunto abierto y conexo $U$ . Supongamos que la secuencia está acotada localmente y que para el conjunto $$D:= \{z \in U : f_n(z) \, \, \mathrm{converges} \}$$ tiene un punto de acumulación en $U$ .

¿Cómo mostrarías que entonces toda la secuencia $f_n$ converge localmente de manera uniforme a una función analítica $f$ ?

Answer 1

Por el teorema de Montel, la secuencia $(f_n)$ tiene una subsecuencia que converge localmente de manera uniforme a alguna función analítica $f: U \to \mathbb{C}$ . Supongamos, $f_n \not \to f$ localmente de manera uniforme. Entonces existe un conjunto compacto $K$ , $\varepsilon>0$ y una subsecuencia $(f_{n_k})_k$ de $(f_n)$ tal que $$\forall k: \|f_{n_k}-f\|_K \geq \varepsilon \tag{1}$$

Por el teorema de Montel, $(f_{n_k})$ tiene una subsecuencia localmente convergente y uniforme $(f_{n_{k_j}})_j$ , $$f_{n_{k_j}} \to \tilde{f} \quad \text{locally uniformly}$$ Por supuesto, $\tilde{f}|_D = f|_D$ . Desde $f$ , $\tilde{f}$ son holomorfos y $D$ tiene un punto de acumulación, concluimos que $f = \tilde{f}$ (por el teorema de la identidad). ¡Contradicción con (1)!